Решите неравенство:
\(\displaystyle (x-4)^4(x+3)^2(x-8)^2 \leqslant 0{\small .}\)
\(\displaystyle x \in\)
Для решения неравенства
\(\displaystyle (x-4)^4(x+3)^2(x-8)^2 \leqslant 0{\small }\)
воспользуемся методом интервалов.
Шаг 1. Найдем нули функции \(\displaystyle f(x)= (x-4)^4(x+3)^2(x-8)^2 {\small .}\)
Решим уравнение
\(\displaystyle (x-4)^4(x+3)^2(x-8)^2 =0{\small .}\)
| \(\displaystyle (x-4)^4=0{\small ,}\) | или | \(\displaystyle (x+3)^2=0{\small ,}\) | или | \(\displaystyle (x-8)^2=0{\small ,}\) |
| \(\displaystyle x-4=0{\small ,}\) | \(\displaystyle x+3=0{\small ,}\) | \(\displaystyle x-8=0{\small ,}\) | ||
| \(\displaystyle x_1=4{\small ,}\) | \(\displaystyle x_2=-3{\small ,}\) | \(\displaystyle x_3=8{\small .}\) |
Шаг 2. Нанесем на координатную прямую нули функции.
Так как знак неравенства нестрогий, все нули обозначаются закрашенными точками.
Получили \(\displaystyle 4\) интервала:
Шаг 3. Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=(x-4)^4(x+3)^2(x-8)^2\) на каждом из полученных интервалов.
Таким же образом можно определить знак функции на каждом интервале или воспользоваться правилом:
Расстановка знаков в методе интервалов для рациональной функции \(\displaystyle f(x)\)
- Определяем знак функции \(\displaystyle f(x)\) на одном интервале (например, самом правом).
- При переходе через очередную отмеченную точку \(\displaystyle a\) смотрим, в какой степени входит линейный множитель \(\displaystyle (x-a)\) в выражение \(\displaystyle f(x){\small:}\)
- если степень нечётная, то знак \(\displaystyle f(x)\) при переходе через \(\displaystyle a\) меняем на противоположный;
- если степень чётная, то знак \(\displaystyle f(x)\) при переходе через \(\displaystyle a\) не меняем.
В нашем случае в выражение
\(\displaystyle f(x)=(x-4)^4(x+3)^2(x-8)^2\)
- все линейные множители входят в чётных степенях, поэтому при переходе через точки \(\displaystyle -3{\small ,}\) \(\displaystyle 4\) и \(\displaystyle 8\) знак не меняем.
В итоге получаем:
Решение неравенства \(\displaystyle (x-4)^4(x+3)^2(x-8)^2 \leqslant 0\) – объединение промежутков, на которых функция \(\displaystyle f(x)\) отрицательна или равна нулю (то есть нули функции также являются решением нестрогого неравенства). Видим, что функция \(\displaystyle f(x)\) неотрицательна на всей числовой прямой.
Значит, решением неравенства являются только нули функции. Ответ запишем в виде:
\(\displaystyle x \in \{-3;4;8\}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle x \in \{-3;4;8\}{\small .}\)