Решите неравенство:
\(\displaystyle (x-5)^4(x+4)^2(x-7)^2 < 0{\small .}\)
\(\displaystyle x \in\)
Для решения неравенства
\(\displaystyle (x-5)^4(x+4)^2(x-7)^2< 0{\small }\)
воспользуемся методом интервалов.
Шаг 1. Найдем нули функции \(\displaystyle f(x)= (x-5)^4(x+4)^2(x-7)^2 {\small .}\)
Решим уравнение
\(\displaystyle (x-5)^4(x+4)^2(x-7)^2 =0{\small .}\)
| \(\displaystyle (x-5)^4=0{\small ,}\) | или | \(\displaystyle (x+4)^2=0{\small ,}\) | или | \(\displaystyle (x-7)^2=0{\small ,}\) |
| \(\displaystyle x-5=0{\small ,}\) | \(\displaystyle x+4=0{\small ,}\) | \(\displaystyle x-7=0{\small ,}\) | ||
| \(\displaystyle x_1=5{\small ,}\) | \(\displaystyle x_2=-4{\small ,}\) | \(\displaystyle x_3=7{\small .}\) |
Шаг 2. Нанесем на координатную прямую нули функции.
Так как знак неравенства строгий, все нули обозначаются выколотыми точками.
Получили \(\displaystyle 4\) интервала:
Шаг 3. Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=(x-5)^4(x+4)^2(x-7)^2\) на каждом из полученных интервалов.
Из интервала \(\displaystyle (7;+\infty)\) выберем любое значение \(\displaystyle x{\small .}\) Например,\(\displaystyle x=10{\small :}\)
\(\displaystyle f(10)=(10-5)^4(10+4)^2(10-7)^2=5^4 \cdot 14^2 \cdot 3^2 >0{\small .}\)
Таким же образом можно определить знак функции на каждом интервале или воспользоваться правилом:
Расстановка знаков в методе интервалов для рациональной функции \(\displaystyle f(x)\)
- Определяем знак функции \(\displaystyle f(x)\) на одном интервале (например, самом правом).
- При переходе через очередную отмеченную точку \(\displaystyle a\) смотрим, в какой степени входит линейный множитель \(\displaystyle (x-a)\) в выражение \(\displaystyle f(x){\small:}\)
- если степень нечётная, то знак \(\displaystyle f(x)\) при переходе через \(\displaystyle a\) меняем на противоположный;
- если степень чётная, то знак \(\displaystyle f(x)\) при переходе через \(\displaystyle a\) не меняем.
В нашем случае в выражение
\(\displaystyle f(x)=(x-5)^4(x+4)^2(x-7)^2\)
- все линейные множители входят в чётных степенях, поэтому при переходе через точки \(\displaystyle -4{\small ,}\) \(\displaystyle 5\) и \(\displaystyle 7\) знак не меняем.
В итоге получаем:
Решение неравенства \(\displaystyle (x-5)^4(x+4)^2(x-7)^2< 0\) – объединение промежутков, на которых функция \(\displaystyle f(x)\) отрицательна. Видим, что функция \(\displaystyle f(x)\) положительна на всей числовой прямой.
Значит, неравенство решений не имеет. Ответ запишем в виде:
\(\displaystyle x \in \varnothing{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle x \in \varnothing{\small .}\)