Сократите дробь:
| \(\displaystyle \frac{x^3 - 3x^2 + 5x - 15}{x^4 - 81}=\) |
Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.
Получим:
\(\displaystyle \frac{x^3 - 3x^2 + 5x - 15}{x^4 - 81} = \frac{(x - 3)(x^2 + 5)}{(x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)}{\small .}\)
- Разложим на множители числитель, применив метод группировки:
\(\displaystyle x^3 - 3x^2 + 5x - 15 = (x^3 - 3x^2) + (5x - 15) = x^2(x - 3) + 5(x - 3) = (x - 3)(x^2 + 5){\small .}\)
- В знаменателе дважды воспользуемся формулой разности квадратов:
\(\displaystyle {x^4 - 81} = (x^2)^2 - 9^2 = \blue {(x^2 - 9)}(x^2 + 9) = \blue {(x - 3)(x + 3)}(x^2 + 9){\small .}\)
Таким образом:
\(\displaystyle \frac{x^3 - 3x^2 + 5x - 15}{x^4 - 81} = \frac{(x - 3)(x^2 + 5)}{(x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)}{\small .}\)
Теперь можем сократить дробь на общий множитель числителя и знаменателя:
\(\displaystyle \frac{\color {blue} {\cancel {(x - 3)}}(x^2 + 5)}{\color {blue} {\cancel {(x - 3)}}(x + 3)(x^2 + 9)}=\frac{x^2 + 5}{(x + 3)(x^2 + 9)}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{x^2 + 5}{(x + 3)(x^2 + 9)}{\small .}\)