Сократите дробь:
| \(\displaystyle \frac{x^3 + 5x^2 - 5x - 1}{x^5 - x^4}=\) |
Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.
Получим:
\(\displaystyle \frac{x^3 + 5x^2 - 5x - 1}{x^5 - x^4} = \frac{(x - 1)(x^2 + 6x + 1)}{x^4(x - 1)}{\small .}\)
- Разложим на множители числитель, применив метод группировки:
\(\displaystyle x^3 + 5x^2 - 5x - 1 = (x^3 - 1) + (5x^2 - 5x) = (x^3 - 1) + 5x(x - 1) = (x^3 - 1^3) + 5x(x - 1){\small .}\\[-10px]\)
Воспользуемся формулой разности кубов:
\(\displaystyle \begin{aligned}&(x^3 - 1^3) + 5x(x - 1) = \\[-10px]\\ &\qquad \qquad= (x - 1)(x^2 + x + 1) + 5x(x - 1) =\\[-10px]\\ &\qquad \qquad \qquad \qquad= (x - 1)(x^2 + x + 1 + 5x) =\\[-10px]\\ &\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad= (x - 1)(x^2 + 6x + 1){\small .}\end{aligned}\)
- В знаменателе вынесем за скобку общий множитель:
\(\displaystyle {x^5 - x^4} = x^4(x - 1){\small .}\)
Таким образом:
\(\displaystyle \frac{x^3 + 5x^2 - 5x - 1}{x^5 - x^4} = \frac{(x - 1)(x^2 + 6x + 1)}{x^4(x - 1)}{\small .}\)
Теперь можем сократить дробь на общий множитель числителя и знаменателя:
\(\displaystyle \frac{\color {blue} {\cancel {(x - 1)}}(x^2 + 6x + 1)}{x^4\color {blue} {\cancel {(x - 1)}}}=\frac{x^2 + 6x + 1}{x^4}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{x^2 + 6x + 1}{x^4}{\small .}\)