Является ли число \(\displaystyle 3\) корнем дробно-рационального уравнения \(\displaystyle \frac{x^2-4x+3}{x^2-x-6}=0{\small?}\)
Корнем уравнения с одной переменной называется значение переменной, обращающее уравнение в верное числовое равенство.
Подставим в уравнение
\(\displaystyle \frac{x^2-4x+3}{x^2-x-6}=0\)
вместо переменной \(\displaystyle x\) число \(\displaystyle \color{blue}{3}{\small.}\)
Получим числовое равенство
\(\displaystyle \frac{\color{blue}{3}^2-4\cdot \color{blue}{3}+3}{\color{blue}{3}^2-\color{blue}{3}-6}=0{\small,} \\[-1.5ex]\)
\(\displaystyle \frac{9-12+3}{9-3-6}=0{\small,}\\[-1.7ex]\)
\(\displaystyle \frac{0}{\red0}=0{\small.}\)
Дробь в левой части равенства не имеет смысла, так как её знаменатель равен нулю.
То есть полученное числовое равенство неверно.
Значит, число \(\displaystyle \color{blue}{3}\) не является корнем данного уравнения.
Ответ: нет.
\(\displaystyle x=3\) не входит в область допустимых значений переменной выражения \(\displaystyle \frac{x^2-4x+3}{x^2-x-6}{\small,}\) так как знаменатель данной дроби при \(\displaystyle x=3\) обращается в нуль.
Следовательно, \(\displaystyle x=3\) не может являться корнем исходного уравнения.