Является ли число \(\displaystyle 1\) корнем дробно-рационального уравнения \(\displaystyle \frac{2}{x^2-1}+x=\frac{2}{x^2-1}+1{\small?}\)
Корнем уравнения с одной переменной называется значение переменной, обращающее уравнение в верное числовое равенство.
Подставим в уравнение
\(\displaystyle \frac{2}{x^2-1}+x=\frac{2}{x^2-1}+1\)
вместо переменной \(\displaystyle x\) число \(\displaystyle \color{blue}{1}{\small.}\)
Получим числовое равенство
\(\displaystyle \frac{2}{\color{blue}{1}^2-1}+\color{blue}{1}=\frac{2}{\color{blue}{1}^2-1}+1\)
\(\displaystyle \frac{2}{\red{0}}+1 = \frac{2}{\red{0}}+1{\small.}\)
Дроби в правой и левой частях равенства не имеют смысла, так как их знаменатель равен нулю.
То есть полученное числовое равенство неверно.
Значит, число \(\displaystyle \color{blue}{1}\) не является корнем данного уравнения.
Ответ: нет.
Заметим, что выражения \(\displaystyle \frac{2}{x^2-1}+x-\frac{2}{x^2-1}\) и \(\displaystyle 1\) тождественно равны.
Это означает, что равенство
\(\displaystyle \frac{2}{x^2-1}+x-\frac{2}{x^2-1}=1\)
верно при всех допустимых значениях переменой \(\displaystyle x{\small,}\) то есть при \(\displaystyle x=\not \pm1\,{\small.}\)
Следовательно, уравнения
\(\displaystyle \frac{2}{x^2-1}+x=\frac{2}{x^2-1}+1\) и \(\displaystyle x=1{\small}\)
равносильны при \(\displaystyle x=\not \not \pm1{\small.}\)