Решите уравнение:
\(\displaystyle \frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+7}=\frac{4}{15} {\small.}\)
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Для того чтобы решить рациональное уравнение
\(\displaystyle \frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+7}=\frac{4}{15} {\small,}\)
- перенесем все члены уравнения в левую часть,
- приведем к общему знаменателю:
\(\displaystyle \frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+7}-\frac{4}{15} = 0{\small.}\)
\(\displaystyle \frac{15(x+7)+15(x+3)-4(x+3)(x+7)}{15(x+3)(x+7)}=0{ \small .}\)
Уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x)=\not 0{\small . } \end{cases}\)
Получим уравнение
\(\displaystyle \frac{-4x^2-10x+66}{15(x+3)(x+7)}=0{ \small }\)
или (после умножения обеих частей на \(\displaystyle -1{ \small, }\) чтобы избавиться от минуса перед \(\displaystyle x^2\) в числителе):
\(\displaystyle \frac{4x^2+10x-66}{15(x+3)(x+7)}=0{ \small ,}\)
равносильное системе
\(\displaystyle \begin{cases}4x^2+10x-66=0{\small , } \\ 15(x+3)(x+7) =\not 0{\small . }\end{cases}\)
Квадратное уравнение \(\displaystyle 4x^2+10x-66=0\) имеет корни \(\displaystyle x=3\) и \(\displaystyle x=-5{,}5{\small .}\)
\(\displaystyle 15(x+3)(x+7)=\not0\) при \(\displaystyle x=\not-3\) и \(\displaystyle x=\not-7{\small .}\)
Получили:
\(\displaystyle \begin{cases}x=3{ \small ,}\, \,x=-5{,}5{\small , } \\[5px] x=\not-3{ \small ,}\, \,x=\not-7{\small . }\end{cases}\)
Значит, \(\displaystyle x=3\) и \(\displaystyle x=-5{,}5\) являются корнями исходного уравнения.
В ответе укажем меньший из корней – это \(\displaystyle -5{,}5{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle -5{,}5{\small .}\)