Для того чтобы решить дробно-рациональное уравнение
\(\displaystyle \frac{x+4}{x+3}=\frac{2x+1}{2x+3} {\small ,}\)
- перенесем все члены уравнения в левую часть,
- приведем к общему знаменателю:
\(\displaystyle \frac{x+4}{x+3} - \frac{2x+1}{2x+3} = 0 {\small .}\)
После приведения к общему знаменателю получим:\(\displaystyle \frac{(x+4)(2x+3)-(2x+1)(x+3)}{(x+3)(2x+3)}=0{ \small .}\)
Общий знаменатель равен произведению знаменателей \(\displaystyle (x+3)(2x+3){\small .}\)
Тогда получаем:
\(\displaystyle \frac{x+4}{x+3}-\frac{2x+1}{2x+3}=0{ \small ,}\)
\(\displaystyle \frac{(x+4)(2x+3)-(2x+1)(x+3)}{(x+3)(2x+3)}=0{ \small .}\)
ПравилоУравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x) =\not 0{\small . } \end{cases}\)
Раскроем в числителе скобки и приведём подобные.
\(\displaystyle \begin{aligned}(x+4)(2x+3)-(2x+1)(x+3)=\qquad\qquad\qquad\qquad \\[2pt]= (2x^2+3x+8x+12) - (2x^2+6x+x+3)=\\[2pt]= 2x^2+3x+8x+12 - 2x^2-6x-x-3=\\[2pt]= 4x+9{\small .}\end{aligned}\)
Получим уравнение
\(\displaystyle \frac{4x+9}{(x+3)(2x+3)}=0{ \small ,}\)
равносильное системе
\(\displaystyle \begin{cases}4x+9=0{\small , } \\(x+3)(2x+3) =\not 0{\small . }\end{cases}\)
Линейное уравнение \(\displaystyle 4x+9=0\) имеет корень \(\displaystyle x=-2{,}25{\small .}\)
\(\displaystyle 4x+9=0 {\small , }\)
\(\displaystyle 4x=-9 {\small , }\)
\(\displaystyle x=-\frac{9}{4}=-2{,}25{\small .}\)
\(\displaystyle (x+3)(2x+3) =\not0\) при \(\displaystyle x =\not -3\) и \(\displaystyle x =\not -\frac{3}{2}{\small .}\)
Найдем значения \(\displaystyle x{\small ,}\) при которых \(\displaystyle (x+3)(2x+3) =\not0{\small :}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}x+3 &=\not 0 \quad \text{и}\quad 2x+3=\not0{\small ,}\\[3pt]x &=\not -3{\small ;}\quad x=\not -\frac{3}{2}{\small .}\end{aligned}\)
Получили:
\(\displaystyle \begin{cases}x=-2{,}25{\small , } \\[5pt]x =\not -3{\small , } \quad x =\not -\dfrac{3}{2}{\small . }\end{cases}\)
Значит, \(\displaystyle x=-2{,}25\) является корнем исходного уравнения.
\(\displaystyle -2{,}25 =\not -3{\small ,} \quad -2{,}25 =\not -\frac{3}{2}{\small .}\)
Значит, \(\displaystyle x=-2{,}25\) не обращает знаменатель в ноль и является решением системы, а значит, и исходного уравнения.
Итак, уравнение имеет единственный корень \(\displaystyle -2{,}25{\small .}\) Его и занесём в ответ.
Ответ: \(\displaystyle -2{,}25{\small .}\)