Skip to main content

Теория: Дробно-рациональные уравнения (общий знаменатель равен произведению знаменателей) - 1

Задание

Найдите корень уравнения:

\(\displaystyle \frac{x-2}{8x-9}=\frac{x-2}{14x-27}{\small .}\)

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

\(\displaystyle x=\) 

Решение

Для того чтобы решить рациональное уравнение

\(\displaystyle \frac{x-2}{8x-9}=\frac{x-2}{14x-27} { \small ,}\)

    • перенесем все члены уравнения в левую часть,
    • приведем к общему знаменателю:

        \(\displaystyle \frac{x-2}{8x-9}-\frac{x-2}{14x-27} =0{ \small .}\)

        После приведения к общему знаменателю получим:

        \(\displaystyle \frac{(x-2)(14x-27)-(x-2)(8x-9)}{(8x-9)(14x-27)}=0{ \small .}\)

        Правило

        Уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе   \(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x)\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)

        Для удобства дальнейших вычислений вынесем в числителе общий множитель за скобки и приведем подобные.

        Получим уравнение

        \(\displaystyle \frac{(x-2)(6x-18)}{(8x-9)(14x-27)}=0{ \small ,}\)

        равносильное системе

        \(\displaystyle \begin{cases} (x-2)(6x-18)=0{\small , } \\ (8x-9)(14x-27)\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)

        Корни уравнения \(\displaystyle (x-2)(6x-18)=0{\small :}\)   \(\displaystyle x=2\) и  \(\displaystyle x=3{\small .}\)

        \(\displaystyle (8x-9)(14x-27)\, \cancel{=}\, 0\)    при \(\displaystyle x\, \cancel{=} \, \frac{9}{8}\) и \(\displaystyle x\, \cancel{=}\, \frac{27}{14}{\small .}\)

        Найдем значения \(\displaystyle x{ \small ,}\) при которых \(\displaystyle (8x-9)(14x-27)\,\cancel{=}\,0{ \small :}\)

        \(\displaystyle 8x-9\, \cancel{=}\, 0\)и\(\displaystyle 14x-27\, \cancel{=}\, 0{ \small ,}\)
        \(\displaystyle 8x\, \cancel{=}\, 9{ \small ,}\) \(\displaystyle 14x\, \cancel{=}\, 27{ \small ,}\)
        \(\displaystyle x\, \cancel{=} \, \frac{9}{8}{ \small ,}\) \(\displaystyle x\, \cancel{=}\, \frac{27}{14}{\small .}\)

        Проверим корни:

        \(\displaystyle 2\, \cancel{=} \, \frac{9}{8}{ \small ,}\)  \(\displaystyle 2\, \cancel{=}\, \frac{27}{14}{ \small ,}\)

        и

        \(\displaystyle 3\, \cancel{=} \, \frac{9}{8}{ \small ,}\)  \(\displaystyle 3\, \cancel{=}\, \frac{27}{14}{ \small .}\)

        Значит, \(\displaystyle x=2\) и \(\displaystyle x=3\) не обращают знаменатель в ноль и являются решениями уравнения.

        В ответ записываем больший из них – это \(\displaystyle 3{\small .}\)


        Ответ: \(\displaystyle 3{\small .}\)