Решите уравнение:
\(\displaystyle \frac{36}{x+3} - \frac{1}{x-2} = 5 {\small.}\)
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
Для того чтобы решить дробно-рациональное уравнение
\(\displaystyle \frac{36}{x+3} - \frac{1}{x-2} = 5 {\small ,}\)
перенесем все члены уравнения в левую часть:
\(\displaystyle \frac{36}{x+3} - \frac{1}{x-2} - 5 = 0{\small .}\)
Приведем дроби к общему знаменателю.
\(\displaystyle \frac{36(x-2) - (x+3) - 5(x+3)(x-2)}{(x+3)(x-2)}= 0{ \small .}\)
Уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x)=\not 0{\small . } \end{cases}\)
Получим уравнение
\(\displaystyle \frac{-5x^2 +30x -45}{(x+3)(x-2)} = 0{ \small }\)
или (после умножения обеих частей на \(\displaystyle -1{ \small, }\) чтобы избавиться от минуса перед \(\displaystyle x^2\) в числителе):
\(\displaystyle \frac{5x^2 -30x +45}{(x+3)(x-2)} = 0{ \small ,}\)
равносильное системе
\(\displaystyle \begin{cases}5x^2 -30x +45=0{\small , } \\(x+3)(x-2) =\not 0{\small . }\end{cases}\)
Уравнение \(\displaystyle 5x^2 -30x +45=0\) имеет единственный корень \(\displaystyle x = 3{\small .}\)
\(\displaystyle (x+3)(x-2)=\not 0\) при \(\displaystyle x=\not -3\) и \(\displaystyle x=\not 2{\small .}\)
Получили:
\(\displaystyle \begin{cases}x = 3{\small , } \\[5px] x=\not -3{\small ,}\ x=\not 2{\small . }\end{cases}\)
Значит, \(\displaystyle x = 3\) является корнем исходного уравнения.
Таким образом, исходное уравнение имеет один корень \(\displaystyle x = 3{\small .}\) Его и укажем в ответе.
Ответ: \(\displaystyle 3{\small .}\)