Решите уравнение:
\(\displaystyle \frac{x+20}{x+5} - \frac{x+6}{x-2} = 7 {\small.}\)
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Для того чтобы решить дробно-рациональное уравнение
\(\displaystyle \frac{x+20}{x+5} - \frac{x+6}{x-2} = 7 {\small ,}\)
перенесем все члены уравнения в левую часть:
\(\displaystyle \frac{x+20}{x+5} - \frac{x+6}{x-2} - 7 = 0{\small .}\)
Приведем дроби к общему знаменателю.
\(\displaystyle \frac{(x+20)(x-2) - (x+6)(x+5) - 7(x+5)(x-2)}{(x+5)(x-2)}= 0{ \small .}\)
Уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x)=\not 0{\small . } \end{cases}\)
Получим уравнение
\(\displaystyle \frac{-7x^2 -14x}{(x+5)(x-2)} = 0{ \small }\)
или (после умножения обеих частей на \(\displaystyle -1{ \small, }\) чтобы избавиться от минуса перед \(\displaystyle x^2\) в числителе):
\(\displaystyle \frac{7x^2 +14x}{(x+5)(x-2)} = 0{ \small ,}\)
равносильное системе
\(\displaystyle \begin{cases}7x^2 +14x = 0{\small , } \\(x+5)(x-2) =\not 0{\small . }\end{cases}\)
Уравнение \(\displaystyle 7x^2 +14x = 0\) имеет корни \(\displaystyle x = 0\) и \(\displaystyle x = -2{\small .}\)
\(\displaystyle (x+5)(x-2)=\not 0\) при \(\displaystyle x=\not -5\) и \(\displaystyle x=\not 2{\small .}\)
Получили:
\(\displaystyle \begin{cases}x = 0,\; x = -2{\small , } \\[5px] x=\not -5{\small ,}\ x=\not 2{\small . }\end{cases}\)
Значит, \(\displaystyle x = 0\) и \(\displaystyle x = -2\) являются корнями исходного уравнения.
В ответе укажем меньший из корней – это \(\displaystyle -2{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle -2{\small .}\)