Решите уравнение:
\(\displaystyle \frac{7}{x-2} - \frac{3}{x+4} = 2 {\small.}\)
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Для того чтобы решить дробно-рациональное уравнение
\(\displaystyle \frac{7}{x-2} - \frac{3}{x+4} = 2 {\small ,}\)
перенесем все члены уравнения в левую часть:
\(\displaystyle \frac{7}{x-2} - \frac{3}{x+4} - 2 = 0{\small .}\)
Приведем дроби к общему знаменателю.
\(\displaystyle \frac{7(x+4) - 3(x-2) - 2(x-2)(x+4)}{(x-2)(x+4)}= 0{ \small .}\)
Уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x)=\not 0{\small . } \end{cases}\)
Получим уравнение
\(\displaystyle \frac{-2x^2 +50}{(x-2)(x+4)} = 0{ \small }\)
или (после умножения обеих частей на \(\displaystyle -1{ \small, }\) чтобы избавиться от минуса перед \(\displaystyle x^2\) в числителе):
\(\displaystyle \frac{2x^2 -50}{(x-2)(x+4)} = 0{ \small }\)
равносильное системе
\(\displaystyle \begin{cases}2x^2 -50 = 0{\small , } \\(x-2)(x+4) =\not 0{\small . }\end{cases}\)
Уравнение \(\displaystyle 2x^2 -50 = 0\) имеет корни \(\displaystyle x = 5\) и \(\displaystyle x = -5{\small .}\)
\(\displaystyle (x-2)(x+4)=\not 0\) при \(\displaystyle x=\not 2\) и \(\displaystyle x=\not -4{\small .}\)
Получили:
\(\displaystyle \begin{cases}x = 5,\; x = -5{\small , } \\[5px] x=\not 2{\small ,}\ x=\not -4{\small . }\end{cases}\)
Значит, \(\displaystyle x = 5\) и \(\displaystyle x = -5\) являются корнями исходного уравнения.
В ответе укажем меньший из корней – это \(\displaystyle -5{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle -5{\small .}\)