Решите уравнение (запишите множество корней; если решений нет, то ответом является пустое множество):
\(\displaystyle \frac{|x|-4}{x+4}=0\)
Рациональное уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}f(x)&=0{ \small ,}\\g(x)&=\not0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Согласно данному правилу, уравнение \(\displaystyle \frac{|x|-4}{x+4}=0\) равносильно системе
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}|x|-4&=0{ \small ,}\\x+4&=\not0{\small . }\end{aligned}\right.\)
Решим уравнение \(\displaystyle |x|-4=0{\small:}\)
\(\displaystyle |x|-4=0{\small,}\)
\(\displaystyle |x|=4{\small,}\)
\(\displaystyle x=\pm 4{\small.}\)
Следовательно, нашу систему можно переписать в виде
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&=\pm 4{ \small ,}\\\color{red}x& \color{red}{=\not -4}{\small .}\end{aligned}\right.\)
Так как \(\displaystyle -4= \color{red}{-4}{\small ,}\) то
\(\displaystyle x=-4\) не является решением системы, а значит, не является корнем исходного уравнения.
Так как \(\displaystyle 4=\not \color{red}{-4}{\small ,}\) то
\(\displaystyle x=4\) – решение системы, а значит, и исходного уравнения.
Ответ: \(\displaystyle 4{\small . } \)