Решите уравнение (запишите множество корней; если решений нет, то ответом является пустое множество):
\(\displaystyle \frac{x-7}{|x|-1}+\frac{4}{|x|-1}=0\)
Сложим дроби.
Рациональное уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}f(x)&=0{ \small ,}\\g(x)&=\not0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Согласно данному правилу, уравнение \(\displaystyle \frac{x-3}{|x|-1}=0\) равносильно системе
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-3&=0{ \small ,}\\|x|-1&=\not0{\small . }\end{aligned}\right.\)
Решим уравнение \(\displaystyle x-3=0{\small:}\)
\(\displaystyle x-3=0{\small,}\)
\(\displaystyle x=3{\small.}\)
Решим уравнение \(\displaystyle |x|-1=0{\small:}\)
\(\displaystyle |x|-1=0{\small,}\)
\(\displaystyle |x|=1{\small,}\)
\(\displaystyle x=\pm 1{\small.}\)
Тогда \(\displaystyle |x|-1=\not0\) при \(\displaystyle x=\not1{\small ,}\) \(\displaystyle x=\not -1{\small . }\)
Следовательно, нашу систему можно переписать в виде
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&=3{ \small ,}\\\color{red}x& \color{red}{=\not 1}{\small ,}\ \ \color{green}x \color{green}{=\not -1}{\small .}\end{aligned}\right.\)
Так как \(\displaystyle 3=\not \color{red}{1}{\small ,}\) и \(\displaystyle 3=\not \color{green}{-1}{\small ,}\) то
\(\displaystyle x=3\) является решением системы, а значит, и корнем исходного уравнения.
Ответ: \(\displaystyle 3{\small.}\)