Решите уравнение (запишите множество корней; если решений нет, то ответом является пустое множество):
\(\displaystyle \frac{x+4}{|x|-1}=\frac{3}{|x|-1}\)
Для того чтобы решить уравнение
\(\displaystyle \frac{x+4}{|x|-1}=\frac{3}{|x|-1}{\small ,}\)
перенесем все члены уравнения в левую часть:
\(\displaystyle \frac{x+4}{|x|-1}-\frac{3}{|x|-1}=0{\small .}\)
Сложим дроби.
Рациональное уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}f(x)&=0{ \small ,}\\g(x)&=\not0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Согласно данному правилу, уравнение \(\displaystyle \frac{x+1}{|x|-1}=0\) равносильно системе
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x+1&=0{ \small ,}\\|x|-1&=\not0{\small . }\end{aligned}\right.\)
Решим уравнение \(\displaystyle x+1=0{\small:}\)
\(\displaystyle x+1=0{\small,}\)
\(\displaystyle x=-1{\small.}\)
Решим уравнение \(\displaystyle |x|-1=0{\small:}\)
\(\displaystyle |x|-1=0{\small,}\)
\(\displaystyle |x|=1{\small,}\)
\(\displaystyle x=\pm 1{\small.}\)
Тогда \(\displaystyle |x|-1=\not0\) при \(\displaystyle x=\not1{\small ,}\) \(\displaystyle x=\not -1{\small . }\)
Следовательно, нашу систему можно переписать в виде
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&=-1{ \small ,}\\\color{red}x& \color{red}{=\not 1}{\small ,}\ \ \color{green}x \color{green}{=\not -1}{\small .}\end{aligned}\right.\)
Так как \(\displaystyle -1= \color{green}{-1}{\small ,}\) то
\(\displaystyle x=-1\) не является решением системы, а значит, не является корнем исходного уравнения.
Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: \(\displaystyle \varnothing{\small .}\)