Решите уравнение (запишите множество корней; если решений нет, то ответом является пустое множество):
\(\displaystyle \frac{x+6}{|x|-6}=0\)
Рациональное уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}f(x)&=0{ \small ,}\\g(x)&=\not0{\small .}\end{aligned}\right.\)
Согласно данному правилу, уравнение \(\displaystyle \frac{x+6}{|x|-6}=0\) равносильно системе
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x+6&=0{ \small ,}\\|x|-6&=\not0{\small . }\end{aligned}\right.\)
Решим уравнение \(\displaystyle x+6=0{\small:}\)
\(\displaystyle x+6=0{\small,}\)
\(\displaystyle x=-6{\small.}\)
Решим уравнение \(\displaystyle |x|-6=0{\small:}\)
\(\displaystyle |x|-6=0{\small,}\)
\(\displaystyle |x|=6{\small,}\)
\(\displaystyle x=\pm 6{\small.}\)
Тогда \(\displaystyle |x|-6=\not0\) при \(\displaystyle x=\not6{\small ,}\) \(\displaystyle x=\not -6{\small . }\)
Следовательно, нашу систему можно переписать в виде
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&=-6{ \small ,}\\\color{red}x& \color{red}{=\not 6}{\small ,}\ \ \color{green}x \color{green}{=\not -6}{\small .}\end{aligned}\right.\)
Так как \(\displaystyle -6= \color{green}{-6}{\small ,}\) то
\(\displaystyle x=-6\) не является решением системы, а значит, не является корнем исходного уравнения.
Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: \(\displaystyle \varnothing{\small .}\)