Найдите значение выражения
\(\displaystyle \left((0{,}125)^{-\frac{2}{3}}-27^{\frac{4}{3}}\right)\cdot 8^{-\frac{1}{3}}\small.\)
Сначала найдем \(\displaystyle (0{,}125)^{-\frac{2}{3}}\small, \) \(\displaystyle 27^{\frac{4}{3}}\small,\) \(\displaystyle 8^{\frac{1}{3}}\small.\)
По определению степени с рациональным показателем с использованием свойств арифметического корня получаем
\(\displaystyle (0{,}125)^{-\frac{2}{3}}=(0{,}125)^{\frac{ {-2}}{ {3}}}=\sqrt[{ {3}}]{(0{,}125)^ {-2}}=\sqrt[{{3}}]{\left(\frac{1}{0{,}125}\right)^{2}}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4\small,\)
\(\displaystyle 27^{\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{27^4}=(\sqrt[3]{27})^4=3^4=81\small,\)
\(\displaystyle 8^{-\frac{1}{3}}=8^{\frac{ {-1}}{ {3}}}=\sqrt[{ {3}}]{8^ {-1}}=\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}=0{,}5\small.\)
Тогда
\(\displaystyle \left((0{,}125)^{-\frac{2}{3}}-27^{\frac{4}{3}}\right)\cdot 8^{-\frac{1}{3}}=(4-81)\cdot 0{,}5=(-77)\cdot 0{,}5=-38{,}5\small.\)
Ответ: \(\displaystyle -38{,}5\small.\)