Найдите значение выражения
\(\displaystyle \left(3^{\frac{1}{3}}+2^{\frac{1}{3}}\right)\cdot \left(3^{\frac{2}{3}}-3^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{3}}+2^{\frac{2}{3}}\right)\small.\)
Представим числа \(\displaystyle 3^{\frac{2}{3}}\) и \(\displaystyle 2^{\frac{2}{3}}\small\) как квадраты:
\(\displaystyle 3^{\frac{2}{3}}=3^{\frac{1}{3} \cdot 2}=\left(3^{\frac{1}{3}}\right)^2\small,\)
\(\displaystyle 2^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{1}{3} \cdot 2}=\left(2^{\frac{1}{3}}\right)^2\small,\)
Получим
\(\displaystyle \left(3^{\frac{1}{3}}+2^{\frac{1}{3}}\right)\cdot \left(3^{\frac{2}{3}}-3^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{3}}+2^{\frac{2}{3}}\right)=\left(3^{\frac{1}{3}}+2^{\frac{1}{3}}\right)\cdot \left(\left(3^{\frac{1}{3}}\right)^2-3^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{3}}+\left(2^{\frac{1}{3}}\right)^2\right)\small.\)
По формуле суммы кубов получаем:
\(\displaystyle \left(3^{\frac{1}{3}}+2^{\frac{1}{3}}\right)\cdot \left(\left(3^{\frac{1}{3}}\right)^2-3^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{3}}+\left(2^{\frac{1}{3}}\right)^2\right)=\left(3^{\frac{1}{3}}\right)^{3}+\left(2^{\frac{1}{3}}\right)^3=\)
\(\displaystyle =3^{\frac{1}{3}\cdot 3}+2^{\frac{1}{3}\cdot 3}=3^1+2^1=3+2=5\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 5\small.\)