Найдите значение выражения
\(\displaystyle \left(3^{\frac{1}{3}}+2^{\frac{1}{3}}\right)^{3} - 3\sqrt[3]{18}-3\sqrt[3]{12}\small.\)
По формуле куба суммы
\(\displaystyle \left(3^{\frac{1}{3}}+2^{\frac{1}{3}}\right)^{3}=\left(3^{\frac{1}{3}}\right)^{3}+3\cdot \left(3^{\frac{1}{3}}\right)^{2}\cdot 2^{\frac{1}{3}}+3\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot \left(2^{\frac{1}{3}}\right)^2+ \left(2^{\frac{1}{3}}\right)^3=\)
\(\displaystyle =3^{\frac{1}{3} \cdot3}+3\cdot 3^{\frac{1}{3} \cdot 2}\cdot 2^{\frac{1}{3}} + 3\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{3}\cdot 2} +2^{\frac{1}{3}\cdot 3}=\)
\(\displaystyle =3^{1}+3\cdot 3^{\frac{2}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{3}} + 3\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{2}{3}} +2^1=\)
\(\displaystyle =3+3\cdot 3^{\frac{2}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{3}} + 3\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{2}{3}} +2=\)
\(\displaystyle =5+3\cdot 3^{\frac{2}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{3}} + 3\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{2}{3}}\small.\)
Тогда
\(\displaystyle \left(3^{\frac{1}{3}}+2^{\frac{1}{3}}\right)^{3} - 3\sqrt[3]{18}-3\sqrt[3]{12}=5+3\cdot 3^{\frac{2}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{3}} + 3\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{2}{3}} - 3\sqrt[3]{18}-3\sqrt[3]{12}\small.\)
Получим
\(\displaystyle \left(3^{\frac{1}{3}}+2^{\frac{1}{3}}\right)^{3} - 3\sqrt[3]{18}-3\sqrt[3]{12}=5+3\cdot 3^{\frac{2}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{3}} + 3\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{2}{3}} - 3\sqrt[3]{18}-3\sqrt[3]{12}=\)
\(\displaystyle =5+3\sqrt[3]{18} + 3\sqrt[3]{12} - 3\sqrt[3]{18}-3\sqrt[3]{12}=5\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 5\small.\)