Задание
Найдите значение выражения
\(\displaystyle \left(3^{\frac{1}{2}}+2\right)^{2} - 4\sqrt{3}\small.\)
Решение
По формуле квадрата суммы
\(\displaystyle \left(3^{\frac{1}{2}}+2\right)^{2}=(3^{\frac{1}{2}})^2+2\cdot 3^{\frac{1}{2}}\cdot 2 + 2^2=\)
\(\displaystyle =3^{\frac{1}{2} \cdot2}+4\cdot 3^{\frac{1}{2}} + 4=3^{1}+4\cdot 3^{\frac{1}{2}} + 4=\)
\(\displaystyle =3 +4\cdot 3^{\frac{1}{2}} +4=7 +4\cdot 3^{\frac{1}{2}}\small.\)
Тогда
\(\displaystyle \left(3^{\frac{1}{2}}+2\right)^{2} - 4\sqrt{3}=7 +4\cdot 3^{\frac{1}{2}}- 4\sqrt{3}\small.\)
\(\displaystyle 4\cdot 3^{\frac{1}{2}}=4\sqrt{3}\small.\)
Получим
\(\displaystyle \left(3^{\frac{1}{2}}+2\right)^{2} - 4\sqrt{3}=7 +4\cdot 3^{\frac{1}{2}}- 4\sqrt{3}=\)
\(\displaystyle =7 +4\sqrt{3}- 4\sqrt{3}=7\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 7\small.\)