Теория: 09 Применение свойств степени с рациональным показателем и формул сокращенного умножения для нахождения значений числовых выражений

Представим числа \(\displaystyle 9^{\frac{1}{3}}\) и \(\displaystyle 4^{\frac{1}{3}}\small\) как квадраты:

\(\displaystyle 9^{\frac{1}{3}}=(3^2)^{\frac{1}{3}}=3^{2\cdot \frac{1}{3}}=3^{\frac{1}{3}\cdot 2}=\left(3^{\frac{1}{3}}\right)^2\small,\)

\(\displaystyle 4^{\frac{1}{3}}=(2^2)^{\frac{1}{3}}=2^{2\cdot \frac{1}{3}}=2^{\frac{1}{3} \cdot 2}=\left(2^{\frac{1}{3}}\right)^2\small,\)

Получим

\(\displaystyle \left(3^{\frac{1}{3}}+2^{\frac{1}{3}}\right)\cdot \left(9^{\frac{1}{3}}-3^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{3}}+4^{\frac{1}{3}}\right)=\left(3^{\frac{1}{3}}+2^{\frac{1}{3}}\right)\cdot \left(\left(3^{\frac{1}{3}}\right)^2-3^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{3}}+\left(2^{\frac{1}{3}}\right)^2\right)\small.\)

По формуле суммы кубов получаем:

\(\displaystyle \left(3^{\frac{1}{3}}+2^{\frac{1}{3}}\right)\cdot \left(\left(3^{\frac{1}{3}}\right)^2-3^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{3}}+\left(2^{\frac{1}{3}}\right)^2\right)=\left(3^{\frac{1}{3}}\right)^{3}+\left(2^{\frac{1}{3}}\right)^3=\)

\(\displaystyle =3^{\frac{1}{3}\cdot 3}+2^{\frac{1}{3}\cdot 3}=3^1+2^1=3+2=5\small.\)

Ответ: \(\displaystyle 5\small.\)