Найдите значение выражения
\(\displaystyle \left(3^{\frac{1}{3}}+2\right)^{3} - 6\sqrt[3]{9}-12\sqrt[3]{3}\small.\)
По формуле куба суммы
\(\displaystyle \left(3^{\frac{1}{3}}+2\right)^{3}=\left(3^{\frac{1}{3}}\right)^{3}+3\cdot \left(3^{\frac{1}{3}}\right)^{2}\cdot 2+3\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot2^2+ 2^3=\)
\(\displaystyle =3^{\frac{1}{3} \cdot3}+6\cdot 3^{\frac{1}{3} \cdot 2} + 3\cdot 3^{\frac{1}{3}}\cdot 4 +8=\)
\(\displaystyle =3^{1}+6\cdot 3^{\frac{2}{3}} + 12\cdot 3^{\frac{1}{3}} +8=\)
\(\displaystyle =3+6\cdot 3^{\frac{2}{3}} + 12\cdot 3^{\frac{1}{3}} +8=\)
\(\displaystyle =11+6\cdot 3^{\frac{2}{3}} + 12\cdot 3^{\frac{1}{3}}\small.\)
Тогда
\(\displaystyle \left(3^{\frac{1}{3}}+2\right)^{3} - 6\sqrt[3]{9}-12\sqrt[3]{3}=11+6\cdot 3^{\frac{2}{3}} + 12\cdot 3^{\frac{1}{3}} - 6\sqrt[3]{9}-12\sqrt[3]{3}\small.\)
Получим
\(\displaystyle \left(3^{\frac{1}{3}}+2\right)^{3} - 6\sqrt[3]{9}-12\sqrt[3]{3}=11+6\cdot 3^{\frac{2}{3}} + 12\cdot 3^{\frac{1}{3}} - 6\sqrt[3]{9}-12\sqrt[3]{3}=\)
\(\displaystyle =11+6\sqrt[3]{9} + 12\sqrt[3]{3} - 6\sqrt[3]{9}-12\sqrt[3]{3}=11\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 11\small.\)