01Математика - 9 класс. Алгебра - Преобразования буквенных выражений, содержащих степень с рациональным показателем (возведение произведения и частного степеней в степень, упрощение выражений)

Задание

Упростите выражение:

\(\displaystyle \frac{x^{\frac{2}{3}}-4}{x^{\frac{1}{3}}+5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}+2x^{\frac{1}{3}}} - \frac{x^{\frac{1}{3}}+2}{x^{\frac{2}{3}}-5x^{\frac{1}{3}}}=\)

-\frac{14}{(x^{\frac{1}{3}}+5)(x^{\frac{1}{3}}-5)}

Решение

Определим порядок действий:

	1		2
\(\displaystyle \color{Blue}{\frac{x^{\frac{2}{3}}-4}{x^{\frac{1}{3}}+5}}\)	\(\displaystyle \color{Blue}{\cdot}\)	\(\displaystyle \color{Blue}{\frac{1\vphantom{x^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{2}{3}}+2x^{\frac{1}{3}}}}\)	\(\displaystyle -\)	\(\displaystyle \color{green}{\frac{x^{\frac{1}{3}}+2}{x^{\frac{2}{3}}-5x^{\frac{1}{3}}}}\)

1. Первым действием выполним умножение.

\(\displaystyle \frac{x^{\frac{2}{3}}-4}{x^{\frac{1}{3}}+5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}+2x^{\frac{1}{3}}}=\frac{x^{\frac{2}{3}}-4}{(x^{\frac{1}{3}}+5)(x^{\frac{2}{3}}+2x^{\frac{1}{3}})}{\small. } \)

Разложим \(\displaystyle x^{\frac{2}{3}}-4\) и \(\displaystyle x^{\frac{2}{3}}+2x^{\frac{1}{3}}\) на множители

\(\displaystyle x^{\frac{2}{3}}-4=(x^{\frac{1}{3}})^2-2^2=(x^{\frac{1}{3}}-2)(x^{\frac{1}{3}}+2){\small,}\)
\(\displaystyle x^{\frac{2}{3}}+2x^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}}+2){\small .}\)

Сократим дробь:

\(\displaystyle \frac{x^{\frac{2}{3}}-4}{(x^{\frac{1}{3}}+5)(x^{\frac{2}{3}}+2x^{\frac{1}{3}})}=\frac{(x^{\frac{1}{3}}-2){(x^{\frac{1}{3}}+2)}}{x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}}+5){(x^{\frac{1}{3}}+2)}}=\color{Blue}{\frac{(x^{\frac{1}{3}}-2)}{x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}}+5)}}{\small. } \)

2. Вторым действием выполним вычитание.

\(\displaystyle \color{Blue}{\frac{(x^{\frac{1}{3}}-2)}{x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}}+5)}} - \color{green}{\frac{x^{\frac{1}{3}}+2}{x^{\frac{2}{3}}-5x^{\frac{1}{3}}}}{\small. }\)

Разложим \(\displaystyle x^{\frac{2}{3}}-5x^{\frac{1}{3}}\) на множители:

\(\displaystyle x^{\frac{2}{3}}-5x^{\frac{1}{3}}= x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}}-5){\small.}\)

Приведём дроби к общему знаменателю \(\displaystyle x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}}+5)(x^{\frac{1}{3}}-5){\small}\) и произведём вычитание:

\(\displaystyle \frac{x^{\frac{1}{3}}-2}{x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}}+5)} - \frac{x^{\frac{1}{3}}+2}{x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}}-5)}=\frac{(x^{\frac{1}{3}}-2)(x^{\frac{1}{3}}-5) - (x^{\frac{1}{3}}+2)(x^{\frac{1}{3}}+5)}{x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}}+5)(x^{\frac{1}{3}}-5)}{\small. }\)

Раскроем скобки в числителе и приведём подобные. Получим:

\(\displaystyle \frac{(x^{\frac{1}{3}}-2)(x^{\frac{1}{3}}-5) - (x^{\frac{1}{3}}+2)(x^{\frac{1}{3}}+5)}{x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}}+5)(x^{\frac{1}{3}}-5)}=-\frac{14x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}}+5)(x^{\frac{1}{3}}-5)}\)

Сократим полученную дробь и запишем ответ:

\(\displaystyle -\frac{14\color{Blue}{x^{\frac{1}{3}}}}{\color{Blue}{x^{\frac{1}{3}}}(x^{\frac{1}{3}}+5)(x^{\frac{1}{3}}-5)}=-\frac{14}{(x^{\frac{1}{3}}+5)(x^{\frac{1}{3}}-5)}{\small. }\)

Ответ:\(\displaystyle -\frac{14}{(x^{\frac{1}{3}}+5)(x^{\frac{1}{3}}-5)}{\small .}\)