Упростите выражение:
1. Разложим знаменатель третьей дроби на множители.
Так как
\(\displaystyle 36 - y^{\frac{6}{7}}=6^2 - (y^{\frac{3}{7}})^2={(6 - y^{\frac{3}{7}})(6 + y^{\frac{3}{7}})} {\small,}\)
то
\(\displaystyle \frac{y^{\frac{3}{7}}}{y^{\frac{3}{7}} - 6} - \frac{3}{y^{\frac{3}{7}} + 6} + \frac{y^{\frac{6}{7}}}{36 - y^{\frac{6}{7}}} = \frac{y^{\frac{3}{7}}}{y^{\frac{3}{7}} - 6} - \frac{3}{y^{\frac{3}{7}} + 6} + \frac{y^{\frac{6}{7}}}{(6 - y^{\frac{3}{7}})(6 + y^{\frac{3}{7}})} {\small.}\)
Выражения \(\displaystyle (y^{\frac{3}{7}} - 6)\) и \(\displaystyle (6 - y^{\frac{3}{7}})\) отличаются только знаком. Тогда
\(\displaystyle \frac{y^{\frac{6}{7}}}{(6 - y^{\frac{3}{7}})(6 + y^{\frac{3}{7}})} = \frac{y^{\frac{6}{7}}}{-(y^{\frac{3}{7}} - 6)(6 + y^{\frac{3}{7}})} = -\frac{y^{\frac{6}{7}}}{(y^{\frac{3}{7}} - 6)(y^{\frac{3}{7}} + 6)} {\small.}\)
Подставляя полученную дробь вместо третьей в исходное выражение, получим:
\(\displaystyle \frac{y^{\frac{3}{7}}}{y^{\frac{3}{7}} - 6} - \frac{3}{y^{\frac{3}{7}} + 6} - \frac{y^{\frac{6}{7}}}{(y^{\frac{3}{7}} - 6)(y^{\frac{3}{7}} + 6)} {\small.}\)
2. Приведём дроби к общему знаменателю \(\displaystyle (y^{\frac{3}{7}} - 6)(y^{\frac{3}{7}} + 6){\small:}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}&\frac{y^{\frac{3}{7}}}{y^{\frac{3}{7}} - 6} - \frac{3}{y^{\frac{3}{7}} + 6} - \frac{y^{\frac{6}{7}}}{(y^{\frac{3}{7}} - 6)(y^{\frac{3}{7}} + 6)} =\\\\ &\qquad \qquad \qquad= \frac{y^{\frac{3}{7}}(y^{\frac{3}{7}} + 6)}{(y^{\frac{3}{7}} - 6)(y^{\frac{3}{7}} + 6)} - \frac{3(y^{\frac{3}{7}} - 6)}{(y^{\frac{3}{7}} - 6)(y^{\frac{3}{7}} + 6)} - \frac{y^{\frac{6}{7}}}{(y^{\frac{3}{7}} - 6)(y^{\frac{3}{7}} + 6)} =\\\\ &\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad= \frac{y^{\frac{3}{7}}(y^{\frac{3}{7}} + 6) -3(y^{\frac{3}{7}} - 6) - y^{\frac{6}{7}}}{(y^{\frac{3}{7}} - 6)(y^{\frac{3}{7}} + 6)}{\small .}\end{aligned}\)
3. В числителе раскроем скобки и приведём подобные. Получим:
\(\displaystyle \frac{3y^{\frac{3}{7}} +18}{(y^{\frac{3}{7}} - 6)(y^{\frac{3}{7}} + 6)}{\small.}\)
4. Упростим полученную дробь:
\(\displaystyle \frac{3y^{\frac{3}{7}} +18}{(y^{\frac{3}{7}} - 6)(y^{\frac{3}{7}} + 6)} = \frac{3\cancel{(y^{\frac{3}{7}} + 6)}}{(y^{\frac{3}{7}} - 6)\cancel{(y^{\frac{3}{7}} + 6)}} = \frac{3}{y^{\frac{3}{7}} - 6}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{3}{y^{\frac{3}{7}} - 6}{\small.}\)