Упростите выражение:
1. Выполним сначала действие в скобках: \(\displaystyle 4a^{\frac{1}{3}}- \frac{2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}+1}{\small .}\)
Приведём выражения \(\displaystyle 4a^{\frac{1}{3}}\) и \(\displaystyle \frac{2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}+1}\) к общему знаменателю \(\displaystyle {a^{\frac{1}{3}}+1}{\small .}\)
Представим \(\displaystyle 4a^{\frac{1}{3}}\) как дробь со знаменателем \(\displaystyle a^{\frac{1}{3}}+1{\small :}\)
\(\displaystyle 4a^{\frac{1}{3}}= \frac{4a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{3}}+1)}{a^{\frac{1}{3}}+1} = \frac{4a^{\frac{2}{3}}+4a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}+1}{\small .}\)
Подставляя, получаем:
\(\displaystyle 4a^{\frac{1}{3}}- \frac{2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}+1} = \frac{4a^{\frac{2}{3}}+4a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}+1} - \frac{2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}+1} = \frac{4a^{\frac{2}{3}} + 4a^{\frac{1}{3}}- 2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}+1} = \frac{4a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}+1}{\small .}\)
В числителе можно вынести за скобку общий множитель \(\displaystyle 2a^{\frac{1}{3}}:\)
\(\displaystyle \frac{4a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}+1}=\frac{2a^{\frac{1}{3}}(2a^{\frac{1}{3}}+1)}{a^{\frac{1}{3}}+1}{\small .}\)
2. Умножим полученную дробь на дробь \(\displaystyle \frac{a^{\frac{1}{3}}+1}{2a^{\frac{2}{3}}}{\small :}\)
\(\displaystyle \frac{2a^{\frac{1}{3}}(2a^{\frac{1}{3}}+1)}{a^{\frac{1}{3}}+1} \cdot \frac{a^{\frac{1}{3}}+1}{2a^{\frac{2}{3}}}=\frac{2a^{\frac{1}{3}}(2a^{\frac{1}{3}}+1)(a^{\frac{1}{3}}+1)}{2a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}}+1)}{\small .}\)
3. Сократим полученную дробь:
\(\displaystyle \frac{2a^{\frac{1}{3}}(2a^{\frac{1}{3}}+1)(a^{\frac{1}{3}}+1)}{2a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}}+1)}=\frac{2a^{\frac{1}{3}}+1}{a^{\frac{1}{3}}}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{2a^{\frac{1}{3}}+1}{a^{\frac{1}{3}}}{\small .}\)