Сократите дробь:
| \(\displaystyle \frac{a^{\frac{4}{9}}+14a^{\frac{2}{9}}+49}{a^{\frac{4}{9}}-49}=\) |
Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.
Получим:
\(\displaystyle \frac{a^{\frac{4}{9}}+14a^{\frac{2}{9}}+49}{a^{\frac{4}{9}}-49}=\frac{(a^{\frac{2}{9}}+7)^2}{(a^{\frac{2}{9}}-7)(a^{\frac{2}{9}}+7)}{\small .}\)
- В числителе можем применить формулу квадрата суммы. Получим:
\(\displaystyle a^{\frac{4}{9}}+14a^{\frac{2}{9}}+49=\left(\color {magenta} {a^{\frac{2}{9}}}\right)^2+2\cdot \blue 7\cdot\color {magenta} {a^{\frac{2}{9}}}+\blue7^2=(a^{\frac{2}{9}}+7)^2{\small .}\)
- В знаменателе применим формулу разности квадратов:
\(\displaystyle {a^{\frac{4}{9}}-49}=\left(a^{\frac{2}{9}}\right)^2-7^2=(a^{\frac{2}{9}}+7)(a^{\frac{2}{9}}-7){\small .}\)
То есть:
\(\displaystyle \frac{a^{\frac{4}{9}}+14a^{\frac{2}{9}}+49}{a^{\frac{4}{9}}-49}=\frac{(a^{\frac{2}{9}}+7)^2}{(a^{\frac{2}{9}}-7)(a^{\frac{2}{9}}+7)}{\small .}\)
Воспользуемся определением квадрата выражения и сократим дробь:
\(\displaystyle \frac{(a^{\frac{2}{9}}+7)^2}{(a^{\frac{2}{9}}-7)(a^{\frac{2}{9}}+7)}=\frac{\color {blue} {\cancel {(a^{\frac{2}{9}}+7)}}(a^{\frac{2}{9}}+7)}{\color {blue} {\cancel {(a^{\frac{2}{9}}+7)}}(a^{\frac{2}{9}}-7)}=\frac{a^{\frac{2}{9}}+7}{a^{\frac{2}{9}}-7}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{a^{\frac{2}{9}}+7}{a^{\frac{2}{9}}-7}{\small .}\)