Упростите рациональное алгебраическое выражение:
Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.
Получим:
\(\displaystyle \frac{b^{\frac{3}{7}}+9b^{\frac{2}{7}}+27b^{\frac{1}{7}}+27}{b^{\frac{2}{7}}+6b^{\frac{1}{7}}+9}=\frac{(b^{\frac{1}{7}}+3)^{\, 3}}{(b^{\frac{1}{7}}+3)^{\, 2}}{\small .}\)
- В числителе можем применить формулу куба суммы:
\(\displaystyle b^{\frac{3}{7}}+9b^{\frac{2}{7}}+27b^{\frac{1}{7}}+27=\left(b^{\frac{1}{7}}\right)^{\, 3}+3\cdot \left(b^{\frac{1}{7}}\right)^{\, 2}\cdot 3 +3\cdot b^{\frac{1}{7}}\cdot 3^2+3^3=(b^{\frac{1}{7}}+3)^{\, 3}{\small .}\)
- В знаменателе можем применить формулу квадрата суммы:
\(\displaystyle b^{\frac{2}{7}}+6b^{\frac{1}{7}}+9=\left(b^{\frac{1}{7}}\right)^{\, 2}+2\cdot 3\cdot b^{\frac{1}{7}}+3^2=(b^{\frac{1}{7}}+3)^{\, 2}{\small .}\)
То есть:
\(\displaystyle \frac{b^{\frac{3}{7}}+9b^{\frac{2}{7}}+27b^{\frac{1}{7}}+27}{b^{\frac{2}{7}}+6b^{\frac{1}{7}}+9}=\frac{(b^{\frac{1}{7}}+3)^{\, 3}}{(b^{\frac{1}{7}}+3)^{\, 2}}{\small .}\)
Сократим полученную дробь на общий множитель \(\displaystyle (b^{\frac{1}{7}}+3)^{\, 2}{\small :}\)
\(\displaystyle \frac{(b^{\frac{1}{7}}+3)^{\, 3}}{(b^{\frac{1}{7}}+3)^{\, 2}}=b^{\frac{1}{7}}+3{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle b^{\frac{1}{7}}+3{\small .}\)