Сократите дробь:
| \(\displaystyle \frac{x^{\frac{3}{7}} + 7x^{\frac{2}{7}} + 2x^{\frac{1}{7}} + 14}{3x^{\frac{1}{7}} + 21}=\) |
Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.
Получим:
\(\displaystyle \frac{x^{\frac{3}{7}} + 7x^{\frac{2}{7}} + 2x^{\frac{1}{7}} + 14}{3x^{\frac{1}{7}} + 21} = \frac{(x^{\frac{1}{7}} + 7)(x^{\frac{2}{7}} + 2)}{3(x^{\frac{1}{7}} + 7)}{\small .}\)
- Разложим на множители числитель, применив метод группировки:
\(\displaystyle x^{\frac{3}{7}} + 7x^{\frac{2}{7}} + 2x^{\frac{1}{7}} + 14 = (x^{\frac{3}{7}} + 7x^{\frac{2}{7}}) + (2x^{\frac{1}{7}} + 14) = \)
\(\displaystyle =x^{\frac{2}{7}}(x^{\frac{1}{7}} + 7) + 2(x^{\frac{1}{7}} + 7) = (x^{\frac{1}{7}} + 7)(x^{\frac{2}{7}} + 2){\small .}\)
- В знаменателе вынесем за скобку общий числовой множитель:
\(\displaystyle {3x^{\frac{1}{7}} + 21} = 3(x^{\frac{1}{7}} + 7){\small .}\)
Таким образом:
\(\displaystyle \frac{x^{\frac{3}{7}} + 7x^{\frac{2}{7}} + 2x^{\frac{1}{7}} + 14}{3x^{\frac{1}{7}} + 21} = \frac{(x^{\frac{1}{7}} + 7)(x^{\frac{2}{7}} + 2)}{3(x^{\frac{1}{7}} + 7)}{\small .}\)
Теперь можем сократить дробь на общий множитель числителя и знаменателя:
\(\displaystyle \frac{\color {blue} {\cancel {(x^{\frac{1}{7}}+7)}}(x^{\frac{2}{7}} + 2)}{3\color {blue} {\cancel {(x^{\frac{1}{7}} + 7)}}}=\frac{x^{\frac{2}{7}} + 2}{3}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{x^{\frac{2}{7}} + 2}{3}{\small .}\)