Skip to main content

Теория: 16 Преобразования буквенных выражений, содержащих степень с рациональным показателем (разложение на множители с помощью группировки)

Задание

Сократите дробь:

\(\displaystyle \frac{x^{\frac{4}{7}}+5x^{\frac{2}{7}}y^{\frac{3}{4}}-2x^{\frac{2}{7}}-10y^{\frac{3}{4}}}{x^{\frac{2}{7}}-2}=\)
x^{\frac{2}{7}}+5y^{\frac{3}{4}}
Решение

Разложим на множители числитель дроби:

\(\displaystyle {x^{\frac{4}{7}}+5x^{\frac{2}{7}}y^{\frac{3}{4}}-2x^{\frac{2}{7}}-10y^{\frac{3}{4}}=(x^{\frac{2}{7}}+5y^{\frac{3}{4}})(x^{\frac{2}{7}}-2)\small.} \)

Воспользуемся методом группировки:

\(\displaystyle \begin{aligned}& x^{\frac{4}{7}}+5x^{\frac{2}{7}}y^{\frac{3}{4}}-2x^{\frac{2}{7}}-10y^{\frac{3}{4}}=(x^{\frac{4}{7}}+5x^{\frac{2}{7}}y^{\frac{3}{4}})-(2x^{\frac{2}{7}}+10y^{\frac{3}{4}}) =\\ \\& \qquad\qquad\qquad = x^{\frac{2}{7}}(x^{\frac{2}{7}}+5y^{\frac{3}{4}})-2(x^{\frac{2}{7}}+5y^{\frac{3}{4}})=(x^{\frac{2}{7}}+5y^{\frac{3}{4}})(x^{\frac{2}{7}}-2){\small .}\end{aligned} \)


Подставляя, получаем:

\(\displaystyle \frac{x^{\frac{4}{7}}+5x^{\frac{2}{7}}y^{\frac{3}{4}}-2x^{\frac{2}{7}}-10y^{\frac{3}{4}}}{x^{\frac{2}{7}}-2} = \frac{(x^{\frac{2}{7}}+5y^{\frac{3}{4}})(x^{\frac{2}{7}}-2)}{x^{\frac{2}{7}}-2} {\small .}\)


Сокращая, получаем:

\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{(x^{\frac{2}{7}}+5y^{\frac{3}{4}})\cancel{\color{green}{(x^{\frac{2}{7}}-2)}}}{{ \cancel{\color{green}{(x^{\frac{2}{7}}-2)}} }}=x^{\frac{2}{7}}+5y^{\frac{3}{4}}{\small .}\end{aligned}\)

Ответ: \(\displaystyle x^{\frac{2}{7}}+5y^{\frac{3}{4}} \small.\)