Сократите дробь:
| \(\displaystyle \frac{x^{\frac{3}{7}} + 7x^{\frac{2}{7}} + 2x^{\frac{1}{7}} + 14}{x^{\frac{2}{7}} +14x^{\frac{1}{7}} + 49}=\) |
Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.
Получим:
\(\displaystyle \frac{x^{\frac{3}{7}} + 7x^{\frac{2}{7}} + 2x^{\frac{1}{7}} + 14}{x^{\frac{2}{7}} +14x^{\frac{1}{7}} + 49} = \frac{(x^{\frac{1}{7}} + 7)(x^{\frac{2}{7}} + 2)}{(x^{\frac{1}{7}} + 7)^2}{\small .}\)
- Разложим на множители числитель, применив метод группировки:
\(\displaystyle x^{\frac{3}{7}} + 7x^{\frac{2}{7}} + 2x^{\frac{1}{7}} + 14 = (x^{\frac{3}{7}} + 7x^{\frac{2}{7}}) + (2x^{\frac{1}{7}} + 14) = \)
\(\displaystyle =x^{\frac{2}{7}}(x^{\frac{1}{7}} + 7) + 2(x^{\frac{1}{7}} + 7) = (x^{\frac{1}{7}} + 7)(x^{\frac{2}{7}} + 2){\small .}\)
- В знаменателе используем формулу квадрата суммы:
\(\displaystyle {x^{\frac{2}{7}} +14x^{\frac{1}{7}} + 49} ={(x^{\frac{1}{7}})^2 +14x^{\frac{1}{7}} + 49} = (x^{\frac{1}{7}} + 7)^2{\small .}\)
Таким образом:
\(\displaystyle \frac{x^{\frac{3}{7}} + 7x^{\frac{2}{7}} + 2x^{\frac{1}{7}} + 14}{x^{\frac{2}{7}} +14x^{\frac{1}{7}} + 49} = \frac{(x^{\frac{1}{7}} + 7)(x^{\frac{2}{7}} + 2)}{(x^{\frac{1}{7}} + 7)^2}{\small .}\)
Теперь можем сократить дробь на общий множитель числителя и знаменателя:
\(\displaystyle \frac{(x^{\frac{1}{7}} + 7)(x^{\frac{2}{7}} + 2)}{(x^{\frac{1}{7}} + 7)^2}=\frac{\color {blue} {\cancel {(x^{\frac{1}{7}}+7)}}(x^{\frac{2}{7}} + 2)}{(x^{\frac{1}{7}} + 7)\color {blue} {\cancel {(x^{\frac{1}{7}} + 7)}}}=\frac{x^{\frac{2}{7}} + 2}{x^{\frac{1}{7}} + 7}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{x^{\frac{2}{7}} + 2}{x^{\frac{1}{7}} + 7}{\small .}\)