Сократите дробь:
| \(\displaystyle \frac{x^{\frac{6}{7}} + 6x^{\frac{4}{7}}+12x^{\frac{2}{7}}+8}{x^{\frac{3}{7}} + 4x^{\frac{2}{7}} + 2x^{\frac{1}{7}} + 8}=\) |
Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.
Получим:
\(\displaystyle \frac{x^{\frac{6}{7}} + 6x^{\frac{4}{7}}+12x^{\frac{2}{7}}+8}{x^{\frac{3}{7}} + 4x^{\frac{2}{7}} + 2x^{\frac{1}{7}} + 8} = \frac{(x^{\frac{2}{7}} + 2)^3}{(x^{\frac{1}{7}} + 4)(x^{\frac{2}{7}} + 2)}{\small .}\)
- В числителе используем формулу куба суммы:
\(\displaystyle x^{\frac{6}{7}} + 6x^{\frac{4}{7}}+12x^{\frac{2}{7}}+8=(x^{\frac{2}{7}})^3 + 3\cdot (x^{\frac{2}{7}})^2\cdot 2+3\cdot x^{\frac{2}{7}}\cdot 2^2+2^3 = (x^{\frac{2}{7}} + 2)^3{\small .}\)
- Разложим на множители знаменатель, применив метод группировки:
\(\displaystyle x^{\frac{3}{7}} + 4x^{\frac{2}{7}} + 2x^{\frac{1}{7}} + 8 = (x^{\frac{3}{7}} + 4x^{\frac{2}{7}}) + (2x^{\frac{1}{7}} + 8) =\)
\(\displaystyle = x^{\frac{2}{7}}(x^{\frac{1}{7}} + 4) + 2(x^{\frac{1}{7}} + 4) = (x^{\frac{1}{7}} + 4)(x^{\frac{2}{7}} + 2){\small .}\)
Таким образом:
\(\displaystyle \frac{x^{\frac{6}{7}} + 6x^{\frac{4}{7}}+12x^{\frac{2}{7}}+8}{x^{\frac{3}{7}} + 4x^{\frac{2}{7}} + 2x^{\frac{1}{7}} + 8} = \frac{(x^{\frac{2}{7}} + 2)^3}{(x^{\frac{1}{7}} + 4)(x^{\frac{2}{7}} + 2)}{\small .}\)
Теперь можем сократить дробь на общий множитель числителя и знаменателя:
\(\displaystyle \frac{(x^{\frac{2}{7}} + 2)^3}{(x^{\frac{1}{7}} + 4)(x^{\frac{2}{7}} + 2)}=\frac{(x^{\frac{2}{7}} + 2)^2\color {blue} {\cancel {(x^{\frac{2}{7}} + 2)}}}{(x^{\frac{1}{7}} + 4)\color {blue} {\cancel {(x^{\frac{2}{7}} + 2)}}}=\frac{(x^{\frac{2}{7}} + 2)^2}{x^{\frac{1}{7}} + 4}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{(x^{\frac{2}{7}} + 2)^2}{x^{\frac{1}{7}} + 4}{\small .}\)