Сократите дробь:
| \(\displaystyle \frac{x^{\frac{3}{7}} + 7x^{\frac{2}{7}} + 7x^{\frac{1}{7}} + 1}{3x^{\frac{1}{7}} + 3}=\) |
Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.
Получим:
\(\displaystyle \frac{x^{\frac{3}{7}} + 7x^{\frac{2}{7}} + 7x^{\frac{1}{7}} + 1}{3x^{\frac{1}{7}} + 3} = \frac{(x^{\frac{1}{7}} + 1)(x^{\frac{2}{7}} + 6x^{\frac{1}{7}}+1)}{3(x^{\frac{1}{7}} + 1)}{\small .}\)
- Разложим на множители числитель, применив метод группировки:
\(\displaystyle {x^{\frac{3}{7}} + 7x^{\frac{2}{7}} + 7x^{\frac{1}{7}} + 1}=(x^{\frac{3}{7}} + 1)+(7x^{\frac{2}{7}} + 7x^{\frac{1}{7}}) \small.\)
В первой скобке используем формулу суммы кубов, во второй скобке вынесем общий множитель:
\(\displaystyle (x^{\frac{3}{7}} + 1)+(7x^{\frac{2}{7}} + 7x^{\frac{1}{7}}) =((x^{\frac{1}{7}})^3 + 1^3)+7x^{\frac{1}{7}} (x^{\frac{1}{7}} + 1) = \)
\(\displaystyle =(x^{\frac{1}{7}}+1)(x^{\frac{2}{7}} -x^{\frac{1}{7}}+1)+ 7x^{\frac{1}{7}} (x^{\frac{1}{7}} + 1) = \)
\(\displaystyle =(x^{\frac{1}{7}} + 1)(x^{\frac{2}{7}}-x^{\frac{1}{7}} +1+ 7x^{\frac{1}{7}}) = (x^{\frac{1}{7}} + 1)(x^{\frac{2}{7}} + 6x^{\frac{1}{7}}+1){\small .}\)
- В знаменателе вынесем за скобку общий числовой множитель:
\(\displaystyle {3x^{\frac{1}{7}} + 3} = 3(x^{\frac{1}{7}} + 1){\small .}\)
Таким образом:
\(\displaystyle \frac{x^{\frac{3}{7}} + 7x^{\frac{2}{7}} + 7x^{\frac{1}{7}} + 1}{3x^{\frac{1}{7}} + 3} = \frac{(x^{\frac{1}{7}} + 1)(x^{\frac{2}{7}} + 6x^{\frac{1}{7}}+1)}{3(x^{\frac{1}{7}} + 1)}{\small .}\)
Теперь можем сократить дробь на общий множитель числителя и знаменателя:
\(\displaystyle \frac{\color {blue} {\cancel {(x^{\frac{1}{7}}+1)}}(x^{\frac{2}{7}} + 6x^{\frac{1}{7}}+1)}{3\color {blue} {\cancel {(x^{\frac{1}{7}} + 1)}}}=\frac{x^{\frac{2}{7}} + 6x^{\frac{1}{7}}+1}{3}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{x^{\frac{2}{7}} + 6x^{\frac{1}{7}}+1}{3}{\small .}\)