Skip to main content

Теория: 16 Преобразования буквенных выражений, содержащих степень с рациональным показателем (разложение на множители с помощью группировки)

Задание

Сократите дробь:

\(\displaystyle \frac{x^{\frac{4}{7}}+5x^{\frac{2}{7}}y^{\frac{3}{4}}-2x^{\frac{2}{7}}-10y^{\frac{3}{4}}}{x^{\frac{4}{7}}-4}=\)
\frac{x^{\frac{2}{7}}+5y^{\frac{3}{4}}}{x^{\frac{2}{7}}+2}
Решение

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

Получим:

\(\displaystyle {x^{\frac{4}{7}}+5x^{\frac{2}{7}}y^{\frac{3}{4}}-2x^{\frac{2}{7}}-10y^{\frac{3}{4}}=(x^{\frac{2}{7}}+5y^{\frac{3}{4}})(x^{\frac{2}{7}}-2)\small.} \)

Воспользуемся методом группировки:

\(\displaystyle \begin{aligned}& x^{\frac{4}{7}}+5x^{\frac{2}{7}}y^{\frac{3}{4}}-2x^{\frac{2}{7}}-10y^{\frac{3}{4}}=(x^{\frac{4}{7}}+5x^{\frac{2}{7}}y^{\frac{3}{4}})-(2x^{\frac{2}{7}}+10y^{\frac{3}{4}}) =\\ \\& \qquad\qquad\qquad = x^{\frac{2}{7}}(x^{\frac{2}{7}}+5y^{\frac{3}{4}})-2(x^{\frac{2}{7}}+5y^{\frac{3}{4}})=(x^{\frac{2}{7}}+5y^{\frac{3}{4}})(x^{\frac{2}{7}}-2){\small .}\end{aligned} \)

В знаменателе используем формулу разности квадратов:

\(\displaystyle {x^{\frac{4}{7}}-4} = (x^{\frac{2}{7}})^2-4=(x^{\frac{2}{7}}-2)(x^{\frac{2}{7}}+2){\small .}\)

 

Подставляя, получаем:

\(\displaystyle \frac{x^{\frac{4}{7}}+5x^{\frac{2}{7}}y^{\frac{3}{4}}-2x^{\frac{2}{7}}-10y^{\frac{3}{4}}}{x^{\frac{4}{7}}-4} = \frac{(x^{\frac{2}{7}}+5y^{\frac{3}{4}})(x^{\frac{2}{7}}-2)}{(x^{\frac{2}{7}}-2)(x^{\frac{2}{7}}+2) }{\small .}\)


Сокращая, получаем:

\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{(x^{\frac{2}{7}}+5y^{\frac{3}{4}})\cancel{\color{green}{(x^{\frac{2}{7}}-2)}}}{{ \cancel{\color{green}{(x^{\frac{2}{7}}-2)}} }(x^{\frac{2}{7}}+2) }=\frac{x^{\frac{2}{7}}+5y^{\frac{3}{4}}}{x^{\frac{2}{7}}+2 }{\small .}\end{aligned}\)

Ответ: \(\displaystyle \frac{x^{\frac{2}{7}}+5y^{\frac{3}{4}}}{x^{\frac{2}{7}}+2 } \small.\)