Skip to main content

Теория: 16 Преобразования буквенных выражений, содержащих степень с рациональным показателем (разложение на множители с помощью группировки)

Задание

Сократите дробь:

\(\displaystyle \frac{x^{\frac{3}{5}} + 5x^{\frac{2}{5}} + 5x^{\frac{1}{5}} + 1}{x^{\frac{2}{5}} +2x^{\frac{1}{5}}+ 1}=\)
\frac{x^{\frac{2}{5}} + 4x^{\frac{1}{5}}+1}{x^{\frac{1}{5}} + 1}
Решение

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

Получим:

\(\displaystyle \frac{x^{\frac{3}{5}} + 5x^{\frac{2}{5}} + 5x^{\frac{1}{5}} + 1}{x^{\frac{2}{5}} +2x^{\frac{1}{5}}+ 1} = \frac{(x^{\frac{1}{5}} + 1)(x^{\frac{2}{5}} + 4x^{\frac{1}{5}}+1)}{(x^{\frac{1}{5}} + 1)^2}{\small .}\)

  • Разложим на множители числитель, применив метод группировки:

\(\displaystyle {x^{\frac{3}{5}} + 5x^{\frac{2}{5}} + 5x^{\frac{1}{5}} + 1}=(x^{\frac{3}{5}} + 1)+(5x^{\frac{2}{5}} + 5x^{\frac{1}{5}}) \small. \)

В первой скобке используем формулу суммы кубов, во второй скобке вынесем общий множитель:

\(\displaystyle (x^{\frac{3}{5}} + 1)+(5x^{\frac{2}{5}} + 5x^{\frac{1}{5}})=((x^{\frac{1}{5}})^3 + 1^3)+5x^{\frac{1}{5}} (x^{\frac{1}{5}} + 1) =\)

\(\displaystyle =(x^{\frac{1}{5}}+1)(x^{\frac{2}{5}} -x^{\frac{1}{5}}+1)+ 5x^{\frac{1}{5}} (x^{\frac{1}{5}} + 1) = \)

\(\displaystyle =(x^{\frac{1}{5}} + 1)(x^{\frac{2}{5}}-x^{\frac{1}{5}} +1+ 5x^{\frac{1}{5}}) = (x^{\frac{1}{5}} + 1)(x^{\frac{2}{5}} + 4x^{\frac{1}{5}}+1){\small .}\)

 

  • В знаменателе используем формулу квадрата суммы:

\(\displaystyle {x^{\frac{2}{5}} +2x^{\frac{1}{5}}+ 1} = (x^{\frac{1}{5}})^2 +2x^{\frac{1}{5}}+ 1 = (x^{\frac{1}{5}} + 1)^2{\small .}\)

Таким образом: 

\(\displaystyle \frac{x^{\frac{3}{5}} + 5x^{\frac{2}{5}} + 5x^{\frac{1}{5}} + 1}{x^{\frac{2}{5}} +2x^{\frac{1}{5}}+ 1} = \frac{(x^{\frac{1}{5}} + 1)(x^{\frac{2}{5}} + 4x^{\frac{1}{5}}+1)}{(x^{\frac{1}{5}} + 1)^2}{\small .}\)

Теперь можем сократить дробь на общий множитель числителя и знаменателя:

\(\displaystyle \frac{(x^{\frac{1}{5}} + 1)(x^{\frac{2}{5}} + 4x^{\frac{1}{5}}+1)}{(x^{\frac{1}{5}} + 1)^2}=\frac{\color {blue} {\cancel {(x^{\frac{1}{5}}+1)}}(x^{\frac{2}{5}} + 4x^{\frac{1}{5}}+1)}{(x^{\frac{1}{5}} + 1)\color {blue} {\cancel {(x^{\frac{1}{5}} + 1)}}}=\frac{x^{\frac{2}{5}} + 4x^{\frac{1}{5}}+1}{x^{\frac{1}{5}} + 1}{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle \frac{x^{\frac{2}{5}} + 4x^{\frac{1}{5}}+1}{x^{\frac{1}{5}} + 1}{\small .}\)