Skip to main content

Теория: 16 Преобразования буквенных выражений, содержащих степень с рациональным показателем (разложение на множители с помощью группировки)

Задание

Найдите произведение дробей и сократите получившуюся дробь:
 

\(\displaystyle \frac{x^{\frac{2}{3}}+5x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{7}}-2x^{\frac{1}{3}}-10y^{\frac{1}{7}}}{x^{\frac{2}{3}}-2x^{\frac{1}{3}}}\cdot \frac{3x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{7}}}{x^{\frac{1}{3}}+5y^{\frac{1}{7}}}=\)
3y^{\frac{1}{7}}
Решение

Получаем:

\(\displaystyle \frac{x^{\frac{2}{3}}+5x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{7}}-2x^{\frac{1}{3}}-10y^{\frac{1}{7}}}{x^{\frac{2}{3}}-2x^{\frac{1}{3}}}\cdot \frac{3x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{7}}}{x^{\frac{1}{3}}+5y^{\frac{1}{7}}}=\frac{(x^{\frac{2}{3}}+5x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{7}}-2x^{\frac{1}{3}}-10y^{\frac{1}{7}})\cdot 3x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{7}}}{(x^{\frac{2}{3}}-2x^{\frac{1}{3}})\cdot(x^{\frac{1}{3}}+5y^{\frac{1}{7}})}{\small .}\)


Разложим выражения \(\displaystyle x^{\frac{2}{3}}+5x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{7}}-2x^{\frac{1}{3}}-10y^{\frac{1}{7}}\) и \(\displaystyle x^{\frac{2}{3}}-2x^{\frac{1}{3}}\) на множители:

\(\displaystyle \,\)•\(\displaystyle \color{black}{x^{\frac{2}{3}}+5x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{7}}-2x^{\frac{1}{3}}-10y^{\frac{1}{7}}=(x^{\frac{1}{3}}+5y^{\frac{1}{7}})(x^{\frac{1}{3}}-2)\small,} \)

Воспользуемся методом группировки:

\(\displaystyle \begin{aligned}& x^{\frac{2}{3}}+5x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{7}}-2x^{\frac{1}{3}}-10y^{\frac{1}{7}}=(x^{\frac{2}{3}}+5x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{7}})-(2x^{\frac{1}{3}}+10y^{\frac{1}{7}}) =\\ \\& \qquad\qquad\qquad = x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}}+5y^{\frac{1}{7}})-2(x^{\frac{1}{3}}+5y^{\frac{1}{7}})=(x^{\frac{1}{3}}+5y^{\frac{1}{7}})(x^{\frac{1}{3}}-2){\small .}\end{aligned} \)

  • \(\displaystyle x^{\frac{2}{3}}-2x^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}}-2){\small .}\)


Подставляя, получаем:

\(\displaystyle \frac{(x^{\frac{2}{3}}+5x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{7}}-2x^{\frac{1}{3}}-10y^{\frac{1}{7}})\cdot 3x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{7}}}{(x^{\frac{2}{3}}-2x^{\frac{1}{3}})\cdot (x^{\frac{1}{3}}+5y^{\frac{1}{7}})} = \frac{3x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{7}}(x^{\frac{1}{3}}+5y^{\frac{1}{7}})(x^{\frac{1}{3}}-2)}{x^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}}-2)(x^{\frac{1}{3}}+5y^{\frac{1}{7}})} {\small .}\)


Сокращая, получаем:

\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{3y^{\frac{1}{7}}\,\cancel{\color{orange}{\,\,x^{\frac{1}{3}}}}{\cancel{\color{blue}{(x^{\frac{1}{3}}+5y^{\frac{1}{7}})}}}\cancel{\color{green}{(x^{\frac{1}{3}}-2)}}}{{\cancel{\color{orange}{\,\,x^{\frac{1}{3}}}} \cancel{\color{green}{(x^{\frac{1}{3}}-2)}} \cancel{\color{blue}{(x^{\frac{1}{3}}+5y^{\frac{1}{7}})}}}}=3y^{\frac{1}{7}}{\small .}\end{aligned}\)

Ответ: \(\displaystyle 3y^{\frac{1}{7}} \small.\)