Решите уравнение:
\(\displaystyle \frac{5}{2y+9}+3=0\)
Так как \(\displaystyle 2y+9\) – знаменатель дроби, то \(\displaystyle 2y+9\) – ненулевое выражение, и можно представить единицу как дробь со знаменателем \(\displaystyle 2y+9{\small :}\)
\(\displaystyle 1=\frac{2y+9}{2y+9}{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle 3=3\cdot \frac{2y+9}{2y+9}=\frac{3(2y+9)}{2y+9}{\small .}\)
Поэтому
\(\displaystyle \frac{5}{2y+9}+\color{green}{3}=\frac{5}{2y+9}+\color{green}{\frac{ 3\cdot (2y+9)}{2y+9 }}=\frac{5+(6y+27)}{2y+9}=\frac{5+6y+27}{2y+9}=\frac{6y+32}{2y+9}{\small . }\)
Получили дробное уравнение:
\(\displaystyle \frac{6y+32}{2y+9}=0{\small . }\)
Решим полученное дробное уравнение. Для этого воспользуемся правилом решения дробных уравнений.
Дробное уравнение
\(\displaystyle \frac{f(\,y\,)}{g(\,y\,)}=0{ \small, }\) то \(\displaystyle f(\,y\,)=0\) и \(\displaystyle g(\,y\,)=\not 0{ \small . }\)
Поэтому из уравнения
\(\displaystyle \frac{6y+32}{2y+9}=0\)
следует, что
\(\displaystyle 6y+32=0 \) и \(\displaystyle 2y+9=\not 0{\small .} \)
Так как \(\displaystyle 2y+9=0\) при \(\displaystyle y=-\frac{9}{2}{\small ,}\) то \(\displaystyle 2y+9=\not 0{\small , }\) если \(\displaystyle y=\not -\frac{9}{2}{ \small .}\)
Решим линейное уравнение \(\displaystyle 6y+32=0 { \small .} \)
\(\displaystyle 6y+32=0{ \small ; } \)
\(\displaystyle 6y=-32{\small ; } \)
\(\displaystyle y=-\frac{ 32}{ 6}{\small ; } \)
\(\displaystyle y=-\frac{ 16}{ 3}{\small . } \)
Таким образом, получаем, что
\(\displaystyle y=-\frac{16}{ 3} \) и \(\displaystyle y=\not -\frac{9}{2}{\small .}\)
Следовательно, \(\displaystyle y=-\frac{ 16}{ 3}\) – искомое решение.
Ответ: \(\displaystyle \bf -\frac{ 16}{ 3}{\small . } \)