Решите уравнение:
\(\displaystyle (36t+4)-\frac{76t+57}{t+2}=0\)
\(\displaystyle t_1=\)
Так как \(\displaystyle t+2\) – знаменатель дроби, то \(\displaystyle t+2\) – ненулевое выражение, и можно представить единицу как дробь со знаменателем \(\displaystyle t+2{\small :}\)
\(\displaystyle 1=\frac{t+2}{t+2}{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle 36t+4=(36t+4)\cdot 1=(36t+4)\cdot \frac{t+2}{t+2}=\frac{(36t+4)(t+2)}{t+2}{\small .}\)
Поэтому
\(\displaystyle \begin{aligned}\color{green}{ 36t+4}-\frac{76t+57}{t+2}=\color{green}{\frac{ (36t+4)(t+2)}{t+2}}-&\frac{76t+57}{t+2}=\frac{ 36t\,(t+2)+4(t+2)-(76t+57)}{ t+2}=\\[5px]&=\frac{36t^{\,2}+72t+4t+8-76t-57}{t+2}=\frac{36t^{\,2}-49}{t+2}{\small . }\end{aligned}\)
Получили дробное уравнение:
\(\displaystyle \frac{36t^{\,2}-49}{t+2}=0{\small . }\)
Решим полученное уравнение. Для этого воспользуемся правилом решения дробных уравнений.
Дробное уравнение
Если \(\displaystyle \frac{f(t\,)}{g(t\,)}=0{ \small, }\) то \(\displaystyle f(t\,)=0\) и \(\displaystyle g(t\,)=\not 0{ \small . }\)
Поэтому из уравнения
\(\displaystyle \frac{36t^{\,2}-49}{t+2}=0\)
следует, что \(\displaystyle 36t^{\,2}-49=0 \) и \(\displaystyle t+2=\not 0{\small .} \)
Так как \(\displaystyle t+2=0\) при \(\displaystyle t=-2{\small ,}\) то \(\displaystyle t+2=\not 0{\small , }\)если \(\displaystyle t=\not -2{ \small .}\)
Разложим левую часть уравнения на множители, воспользовавшись формулой разности квадратов:
\(\displaystyle a^{\,2}-b^{\,2}= (a+b\,)(a-b\,){\small . } \)
Тогда
\(\displaystyle 36t^{\,2}-49= (6t\,)^2-7^2=(6t+7)(6t-7){\small . } \)
Получили уравнение:
\(\displaystyle (6t+7)(6t-7)=0{\small . } \)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно,
\(\displaystyle 6t+7=0\) или \(\displaystyle 6t-7=0{\small .}\)
Решим каждое из полученных линейных уравнений.
1. Уравнение \(\displaystyle 6t+7=0{\small . } \)
\(\displaystyle 6t+7=0{\small ; } \)
\(\displaystyle 6t=-7{\small ; } \)
\(\displaystyle t=-\frac{ 7}{ 6}{\small . } \)
2. Уравнение \(\displaystyle 6t-7=0{\small . } \)
\(\displaystyle 6t-7=0{\small ; } \)
\(\displaystyle 6t=7{\small ; } \)
\(\displaystyle t=\frac{ 7}{ 6}{\small . } \)
Таким образом, получаем, что
\(\displaystyle t=-\frac{ 7}{ 6} \) или \(\displaystyle t=\frac{ 7}{ 6}{\small , } \) при \(\displaystyle t=\not -2{\small .}\)
Следовательно, \(\displaystyle t=-\frac{ 7}{ 6} \) и \(\displaystyle t=\frac{ 7}{ 6}\) – искомые решения.
Ответ: \(\displaystyle t_1=-\frac{ 7}{ 6} {\small , }\)\(\displaystyle t_2=\frac{ 7}{ 6}{\small . } \)