Skip to main content

Теория: Рациональные уравнения, содержащие целое и дробное рациональные выражения

Задание

Решите уравнение:

\(\displaystyle \frac{x^2-4x+3}{x^2-10x+9}=2{\small .}\)

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

\(\displaystyle x=\)

Решение

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы в правой части получить нуль:

\(\displaystyle \frac{x^2-4x+3}{x^2-10x+9}-2=0{\small .}\)

Приведем выражения в левой части уравнения к общему знаменателю и упростим полученное выражение.

Уравнение примет вид:

\(\displaystyle \frac{-{x^2}+{16x}-{15}}{\phantom{1}x^2-10x+9}=0{\small .}\)

Умножим обе части уравнения на \(\displaystyle -1\) (избавимся от минуса перед \(\displaystyle x^2\) в числителе):

\(\displaystyle \frac{x^2-16x+15}{x^2-10x+9}=0{\small .}\)

Воспользуемся правилом.

Правило

Уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x)\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)

Значит, полученное уравнение равносильно системе:

\(\displaystyle \begin{cases} x^2-16x+15=0{\small , } \\ x^2-10x+9\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)

Квадратное уравнение \(\displaystyle x^2-16x+15=0\) имеет корни   \(\displaystyle x_1=15,\ x_2=1{\small .}\)

Выражение \(\displaystyle x^2-10x+9\, \cancel{=}\, 0\) при \(\displaystyle x\, \cancel{=}\, 9\) и при \(\displaystyle x\, \cancel{=}\, 1{ \small .}\)

Таким образом, получаем:

\(\displaystyle \begin{cases} x=15{\small , }\, x=1{\small , } \\[5px]x\, \cancel{=}\, 9{\small , }\, x\, \cancel{=}\, 1{\small . } \end{cases}\)

Так как

\(\displaystyle 15\, \cancel{=} \, 9\) и \(\displaystyle 15\, \cancel{=} \, 1{ \small ,}\)

\(\displaystyle 1\, \cancel{=} \, 9{ \small ,}\)но \(\displaystyle 1= 1{ \small ,}\)

\(\displaystyle x=15\) является решением системы, а значит, и исходного уравнения.

\(\displaystyle x=1\) не является решением системы, а значит, и исходного уравнения.

Замечание / комментарий

Заметим, что можно не решать уравнение \(\displaystyle x^2-10x+9\, \cancel{=}\, 0{ \small ,}\) а проверить уже полученные корни \(\displaystyle x=15\) и \(\displaystyle x=1\) подстановкой. Корни целые, поэтому громоздких вычислений не потребуется.

Подставим \(\displaystyle x=15\) в уравнение \(\displaystyle x^2-10x+9=0\) и проверим, получится ли верное равенство:

\(\displaystyle 15^2-10\cdot 15+9=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle 225-150+9=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle 48\,\cancel{=}\,0{\small .}\)

Получили неверное равенство. Значит, \(\displaystyle x=15\) не является корнем уравнения \(\displaystyle x^2-10x+9=0{\small .}\)

При  \(\displaystyle x=1{ \small :}\)

\(\displaystyle 1^2-10\cdot 1+9=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle 1-10+9=0{\small ,}\)

\(\displaystyle 0=0{ \small .}\)

То есть \(\displaystyle x=1\) является корнем уравнения \(\displaystyle x^2-10x+9=0{\small ,}\) а, значит, не является корнем исходного уравнения

Исходное уравнение имеет единственный корень: \(\displaystyle x=15{\small .}\)

Его и укажем в ответе.

Ответ: \(\displaystyle x=15{\small .}\)