Skip to main content

Теория: Рациональные уравнения, содержащие целое и дробное рациональные выражения

Задание

Решите уравнение

\(\displaystyle 6y=\frac{3y^2+7y}{3y-1}+1{\small .}\)


Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
 

\(\displaystyle t=\)
\frac{1}{15}
Решение

Перенесем все члены уравнения в левую часть уравнения, чтобы в правой части получить нуль:

\(\displaystyle 6y-\frac{3y^2+7y}{3y-1}-1=0{\small .}\)

Перегруппируем слагаемые:

\(\displaystyle (6y-1)-\frac{3y^2+7y}{3y-1}=0{\small .}\)

Приведем выражения в левой части уравнения к общему знаменателю и упростим полученное выражение.

Уравнение примет вид:

\(\displaystyle \frac{15y^2-16y+1}{3y-1}=0{\small .}\)

Воспользуемся правилом.

Правило

Уравнение \(\displaystyle \frac{f(y)}{g(y)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \begin{cases} f(y)=0{\small , } \\ g(y)\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)

Значит, полученное уравнение равносильно системе:

\(\displaystyle \begin{cases} 15y^2-16y+1=0{\small , } \\ 3y-1\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)

Квадратное уравнение \(\displaystyle 15y^2-16y+1=0\) имеет корни   \(\displaystyle y_1=1,\ y_2=\frac{1}{15}{\small .}\)

\(\displaystyle 3y-1\, \cancel{=}\, 0\) при \(\displaystyle y\, \cancel{=}\, \frac{1}{3}{\small .}\)

Таким образом, получаем:

\(\displaystyle \begin{cases} y=1{\small , }\, y=\dfrac{1}{15}{\small , } \\[5px]y\, \cancel{=}\, \dfrac{1}{3}{\small . } \end{cases}\)

Так как

\(\displaystyle 1\, \cancel{=} \, \frac{1}{3}\) и \(\displaystyle \frac{1}{15}\, \cancel{=} \, \frac{1}{3}{ \small ,}\)

то

\(\displaystyle y=1\) и \(\displaystyle y=\frac{1}{15}\) являются решениями системы, а значит, и исходного уравнения.

Итак, исходное уравнение имеет два корня: \(\displaystyle y=1\) и \(\displaystyle y=\frac{1}{15}{\small .}\)

В ответе требуется указать меньший из них, то есть \(\displaystyle y=\frac{1}{15}{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle y= \frac{1}{15}{\small .}\)