Skip to main content

Теория: Рациональные уравнения, содержащие целое и дробное рациональные выражения

Задание

Найдите корень уравнения:

\(\displaystyle \frac{5x-20}{x-4}=x{\small .}\)

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

\(\displaystyle x=\)

Решение

Для того чтобы решить рациональное уравнение

\(\displaystyle \frac{5x-20}{x-4}=x{ \small ,}\)

    перенесем все члены уравнения в левую часть

        \(\displaystyle \frac{5x-20}{x-4}-x=0{ \small .}\)

        и приведем их к общему знаменателю.

        Получим дробно-рациональное уравнение

        \(\displaystyle \frac{-x^2+9x-20}{x-4}=0{\small .}\)


        Домножим обе части уравнения на \(\displaystyle -1{ \small ,}\) чтобы избавиться от минуса перед \(\displaystyle x^2\) в числителе: 

        \(\displaystyle \frac{x^2-9x+20}{x-4}=0{\small .}\)

        Воспользуемся правилом.

        Правило

        Уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x)\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)

        Значит, полученное уравнение равносильно системе:

        \(\displaystyle \begin{cases} x^2-9x+20=0{\small , } \\ x-4\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)

        Квадратное уравнение \(\displaystyle x^2-9x+20=0\) имеет корни   \(\displaystyle x_1=5,\ x_2=4{\small .}\)

        \(\displaystyle x-4\, \cancel{=}\, 0\) при \(\displaystyle x\, \cancel{=}\, 4{ \small .}\)

        Таким образом, получаем:

        \(\displaystyle \begin{cases} x=5{\small , }\, x=4{\small , } \\[5px]x\, \cancel{=}\, 4{\small . } \end{cases}\)

        Так как

        \(\displaystyle 5\, \cancel{=} \, 4{\small , }\) а \(\displaystyle 4\, {\bf =}\, 4{ \small ,}\)

        то \(\displaystyle x=5\) является решением системы, а значит, исходного уравнения,

        \(\displaystyle x=4\) не является решением системы, а значит, исходного уравнения,

        Так как решение единственно, то в ответе укажем \(\displaystyle 5{\small .}\)


        Ответ: \(\displaystyle 5{\small .}\)