Skip to main content

Теория: Рациональные уравнения, содержащие целое и дробное рациональные выражения

Задание

Решите уравнение:

\(\displaystyle \frac{2x-3}{3x+4}=2{\small .}\)

\(\displaystyle x=\)
-\frac{11}{4}
Решение

Перенесём все члены уравнения

\(\displaystyle \frac{2x-3}{3x+4}=2{\small }\)

в левую часть, чтобы получить в правой нуль:

\(\displaystyle \frac{2x-3}{3x+4}-2=0{\small .}\)

Приведем все члены уравнения к общему знаменателю.

Получим дробно-рациональное уравнение

\(\displaystyle \frac{-4x-11}{\phantom{1} 3x+4 } =0{\small .}\)

Воспользуемся правилом.

Правило

Уравнение \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=0\) равносильно системе \(\displaystyle \begin{cases} f(x)=0{\small , } \\ g(x)\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)

Значит,

\(\displaystyle \begin{cases} -4x-11=0{\small , } \\ 3x+4\, \cancel{=}\, 0{\small . } \end{cases}\)

Корень уравнения \(\displaystyle -4x-11=0{\small :}\) \(\displaystyle x=-\frac{11}{4}{\small . }\)

\(\displaystyle 3x+4\, \cancel{=}\, 0\) при \(\displaystyle x\, \cancel{=}\, -\frac{4}{3}{ \small .}\)

Таким образом, получаем:

\(\displaystyle \begin{cases} x=-\dfrac{11}{4}{\small , } \\[10px]x\, \cancel{=}\, -\dfrac{4}{3}{\small . } \end{cases}\)

Так как \(\displaystyle -\dfrac{11}{4}\, \cancel{=}\, -\frac{4}{3} ,\)  то \(\displaystyle x=-\dfrac{11}{4}\) –  решение системы, а значит, и исходного уравнения.


Ответ: \(\displaystyle -\dfrac{11}{4}{\small . } \)