На рисунке изображены множества \(\displaystyle A{\small,}\) \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C{\small.}\) Выразите закрашенные части через множества \(\displaystyle A{\small,}\) \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C\) с помощью операций объединения, пересечения и разности.
Укажите все верные варианты:
Рассмотрим каждое выражение.
\(\displaystyle (C \setminus (A \cup B)) \cup (A \cap B)\) – верно
Выполним действия по порядку:
\(\displaystyle (C \overset{\color {red}{\bf2}}{\setminus} (A \overset{\color {red}{\bf1}}{\cup} B)) \overset{\color {red}{\bf4}}{\cup} (A \overset{\color {red}{\bf3}}{\cap} B)\)
Изобразим результат каждого действия на картинке:
| \(\displaystyle \color {red}{\bf1}\) | два множества | \(\displaystyle \color {red}{\bf2}\) |
| \(\displaystyle A \cup B \) | \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle A \cup B\) | \(\displaystyle C \setminus (A \cup B)\) |
 |  |  |
| \(\displaystyle \color {red}{\bf3}\) | два множества | \(\displaystyle \color {red}{\bf4}\) |
| \(\displaystyle A \cap B \) | \(\displaystyle C \setminus (A \cup B)\) и \(\displaystyle A \cap B\) | \(\displaystyle (C \setminus (A \cup B)) \cup (A \cap B)\) |
 |  |  |
Выражение \(\displaystyle (C \setminus (A \cup B)) \cup (A \cap B)\) задаёт множество:
Полученная картинка совпадает с картинкой, данной в условии задачи. Значит,
\(\displaystyle (C \setminus (A \cup B)) \cup (A \cap B)\) – верно.
\(\displaystyle C \setminus ((A \setminus B) \cup (B \setminus A))\) – верно
\(\displaystyle ((A \cup C) \setminus B) \cup (A \cap B)\) – неверно
\(\displaystyle ((B \cup C) \setminus A) \cup (A \cap B)\) – неверно
\(\displaystyle ((A \cap C) \setminus B) \cup ((B \cap C) \setminus A)\) – неверно
Ответ: \(\displaystyle (C \setminus (A \cup B)) \cup (A \cap B){\small;}\) \(\displaystyle C \setminus ((A \setminus B) \cup (B \setminus A)){\small.}\)