Задание
Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии \(\displaystyle S=9+6+4+\frac{8}{3}+\ldots\)
\(\displaystyle S=\)
Решение
Чтобы найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
- найдем первый член и знаменатель,
- воспользуемся правилом:
Правило
Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
\(\displaystyle S=b_1+b_2+b_3+\ldots\)
вычисляется по формуле
\(\displaystyle S=\frac{b_1}{1-q}\small,\)
где \(\displaystyle q\) – знаменатель прогрессии.
В геометрической прогрессии
\(\displaystyle 9,\,6,\,4,\,\frac{8}{3},\,\ldots\)
первый член \(\displaystyle b_1\) и знаменатель \(\displaystyle q\) равны:
\(\displaystyle b_1=9\) и \(\displaystyle q=\frac{2}{3}\small.\)
Зная первый член и знаменатель прогрессии, воспользуемся формулой:
\(\displaystyle S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{9}{1-\dfrac{2}{3}}=27\small.\)
Ответ: \(\displaystyle S=27\small.\)