Сумма \(\displaystyle S\) бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна \(\displaystyle 1\small.\) Найдите ее первый член \(\displaystyle b_1\small,\) если знаменатель данной прогрессии \(\displaystyle q\) равен \(\displaystyle \frac{1}{2}{\small .}\)
Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется через \(\displaystyle b_1\) и \(\displaystyle q{\small:}\)
\(\displaystyle S=\frac{b_1}{1-q}\small.\)
Подставляя известные \(\displaystyle S=1\) и \(\displaystyle q=\frac{1}{2}\) в формулу, получаем:
\(\displaystyle 1=\frac{b_1}{1-\dfrac{1}{2}}\small.\)
Упростим знаменатель и найдем \(\displaystyle b_1{\small:}\)
\(\displaystyle 1=\frac{\phantom{11}b_1\phantom{11}}{\dfrac{1}{2}}\small,\)
\(\displaystyle b_1=\frac{1}{2}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle b_1=\frac{1}{2}\small.\)