Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии \(\displaystyle S=9-6+4-\frac{8}{3}+\ldots\)
Чтобы найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
- найдем первый член и знаменатель,
- воспользуемся правилом:
Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
\(\displaystyle S=b_1+b_2+b_3+\ldots\)
вычисляется по формуле
\(\displaystyle S=\frac{b_1}{1-q}\small,\)
где \(\displaystyle q\) – знаменатель прогрессии.
\(\displaystyle 9,\,-6,\,4,\,-\frac{8}{3},\,\ldots\)
первый член \(\displaystyle b_1\) и знаменатель \(\displaystyle q\) равны:
\(\displaystyle b_1=9\) и \(\displaystyle q=-\frac{2}{3}\small.\)
Зная первый член и знаменатель прогрессии, воспользуемся формулой:
\(\displaystyle S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{9}{1-\left(-\dfrac{2}{3}\right)}=\frac{9}{1+\dfrac{2}{3}}=\frac{27}{5}=5{,}4\small.\)
Ответ: \(\displaystyle S=5{,}4\small.\)