Представьте выражение в виде произведения числа и частного степеней переменных \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y{\small.}\)
| \(\displaystyle \sqrt{\frac{36x^4}{y^{12}}}=\) | \(\displaystyle \cdot\) |
В числителе подкоренного выражения находится произведение квадратов, в знаменателе – квадрат:
\(\displaystyle \frac{36x^{4}}{y^{12}}=\frac{6^2(x^{2})^2}{(y^{6})^2}{\small.}\)
Так как квадраты чисел всегда неотрицательны, то согласно
\(\displaystyle \sqrt{\frac{6^2(x^{2})^2}{(y^{6})^2}}=\frac{\sqrt{6^2}\sqrt{(x^{2})^2}}{\sqrt{(y^{6})^2}}{\small.}\)
Теперь воспользуемся правилом:
Для любого числа \(\displaystyle a\) выполняется
\(\displaystyle \sqrt{a^2}=|a|{\small.}\)
Получаем:
\(\displaystyle \frac{\sqrt{6^2}\sqrt{(x^{2})^2}}{\sqrt{(y^{6})^2}}=\frac{6|x^{2}|}{|y^{6}|}{\small.}\)
\(\displaystyle x^{2}\geqslant 0\) для любого действительного \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y^{6}\geqslant 0\) для любого действительного \(\displaystyle y{\small,}\) поэтому
\(\displaystyle |x^{2}|=x^{2}\) и \(\displaystyle |y^{6}|=y^{6}{\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle \frac{6|x^{2}|}{|y^{6}|}=\frac{6x^{2}}{y^{6}}=6\cdot \frac{x^{2}}{y^{6}}{\small.}\)
Таким образом, при любых действительных \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y{\small:}\)
\(\displaystyle \color{Blue}{\sqrt{\frac{36x^4}{y^{12}}}=6\cdot \frac{x^{2}}{y^{6}}}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 6\cdot \frac{x^{2}}{y^{6}}{\small.}\)