Представьте выражение в виде произведения числа и частного степеней переменных \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y{\small,}\) если \(\displaystyle y< 0{\small.}\)
| \(\displaystyle \sqrt{\frac{169x^{12}}{y^{22}}}=\) | |
В числителе подкоренного выражения находится произведение квадратов, в знаменателе – квадрат:
\(\displaystyle \frac{169x^{12}}{y^{22}}=\frac{13^2\cdot(x^{6})^2}{(y^{11})^2}{\small.}\)
Так как квадраты чисел всегда неотрицательны, то согласно
\(\displaystyle \sqrt{\frac{169x^{12}}{y^{22}}} = \sqrt{\frac{13^2\cdot(x^{6})^2}{(y^{11})^2}}=\frac{\sqrt{13^2}\sqrt{(x^{6})^2}}{\sqrt{(y^{11})^2}}{\small.}\)
Теперь воспользуемся правилом:
Для любого числа \(\displaystyle a\) выполняется
\(\displaystyle \sqrt{a^2}=|a|{\small.}\)
Получаем:
\(\displaystyle \frac{\sqrt{13^2}\sqrt{(x^{6})^2}}{\sqrt{(y^{11})^2}}=\frac{13|x^{6}|}{|y^{11}|}{\small.}\)
Раскроем модули:
- \(\displaystyle x^{6}\geqslant 0\) для любого действительного \(\displaystyle x{\small,}\) поэтому
\(\displaystyle |x^{6}|=x^{6}{\small.}\)
- По условию \(\displaystyle y< 0{\small,}\) значит, \(\displaystyle y^{11}< 0\) и тогда
\(\displaystyle |y^{11}|=-y^{11}{\small.}\)
Получаем:
\(\displaystyle \frac{13|x^{6}|}{|y^{11}|}=\frac{13x^{6}}{-y^{11}}{\small.}\)
Таким образом, при \(\displaystyle y<0\) и любом \(\displaystyle x{\small}\)
\(\displaystyle \color{Blue}{\sqrt{\frac{169x^{12}}{y^{22}}}=\frac{13x^{6}}{-y^{11}}=-13\cdot \frac{x^{6}}{y^{11}}}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle -13\cdot \frac{x^{6}}{y^{11}}{\small.}\)