Представьте выражение в виде произведения числа и степени переменной \(\displaystyle b{\small,}\) если \(\displaystyle b< 0{\small.}\)
| \(\displaystyle b\sqrt{81b^{10}}=\) | \(\displaystyle \,\,\cdot\) | \(\displaystyle b\) |
Подкоренное выражение является произведением квадратов:
\(\displaystyle 81b^{10}=9^2\cdot (b^{5})^2{\small.}\)
Так как квадраты чисел всегда неотрицательны, то согласно
корень из произведения равен произведению корней:
\(\displaystyle b\sqrt{81b^{10}}=b\cdot\sqrt{9^2\cdot (b^{5})^2}=b\cdot\sqrt{9^2}\cdot\sqrt{ (b^{5})^2}{\small.}\)
Теперь воспользуемся правилом:
Для любого числа \(\displaystyle a\) выполняется
\(\displaystyle \sqrt{a^2}=|a|{\small.}\)
Получим:
\(\displaystyle b\cdot\sqrt{9^2}\cdot\sqrt{ (b^{5})^2}=b\cdot9\cdot|b^{5}|=9\cdot b\cdot|b^{5}|{\small.}\)
По условию \(\displaystyle b<0{\small,}\) значит, \(\displaystyle b^{5}< 0\) и поэтому
\(\displaystyle |b^{5}|=-b^{5}{\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle 9\cdot b\cdot |b^{5}|=-9\cdot b\cdot b^{5}{\small.}\)
Применим свойство степеней:
\(\displaystyle -9\cdot b\cdot b^{5}=-9\cdot b^{1+5}=-9\cdot b^{6}{\small.}\)
Таким образом, при \(\displaystyle b<0{\small}\)
\(\displaystyle \color{Blue}{b\sqrt{81b^{10}}=-9 \cdot b^{6}}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle -9 \cdot b^{6}{\small.}\)