Представьте выражение в виде произведения числа и частного степеней переменных \(\displaystyle x\) и \(\displaystyle y{\small,}\) если \(\displaystyle x\geqslant 0{\small.}\)
| \(\displaystyle \sqrt{\frac{1{,}21x^{14}}{y^{12}}}=\) | |
В числителе подкоренного выражения находится произведение квадратов, в знаменателе – квадрат:
\(\displaystyle \frac{1{,}21x^{14}}{y^{12}}=\frac{1{,}1^2\cdot(x^{7})^2}{(y^{6})^2}{\small.}\)
Так как квадраты чисел всегда неотрицательны, то согласно
\(\displaystyle \sqrt{\frac{1{,}21x^{14}}{y^{12}}} = \sqrt{\frac{1{,}1^2\cdot(x^{7})^2}{(y^{6})^2}}=\frac{\sqrt{1{,}1^2}\sqrt{(x^{7})^2}}{\sqrt{(y^{6})^2}}{\small.}\)
Теперь воспользуемся правилом:
Для любого числа \(\displaystyle a\) выполняется
\(\displaystyle \sqrt{a^2}=|a|{\small.}\)
Получаем:
\(\displaystyle \frac{\sqrt{1{,}1^2}\sqrt{(x^{7})^2}}{\sqrt{(y^{6})^2}}=\frac{1{,}1|x^{7}|}{|y^{6}|}{\small.}\)
Раскроем модули.
- По условию \(\displaystyle x\geqslant 0{\small,}\) значит, \(\displaystyle x^{7}\geqslant 0\) и тогда \(\displaystyle |x^{7}|=x^{7}{\small,}\)
- \(\displaystyle y^{6}\geqslant 0\) для любого действительного \(\displaystyle y{\small,}\) поэтому \(\displaystyle |y^{6}|=y^{6}{\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle \frac{1{,}1|x^{7}|}{|y^{6}|}=\frac{1{,}1x^{7}}{y^{6}}{\small.}\)
Таким образом, при \(\displaystyle x\geqslant 0{\small}\) и любом \(\displaystyle y{\small}\)
\(\displaystyle \color{Blue}{\sqrt{\frac{1{,}21x^{14}}{y^{12}}}=\frac{1{,}1x^{7}}{y^{6}}=1{,}1\cdot \frac{x^{7}}{y^{6}}}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 1{,}1\cdot \frac{x^{7}}{y^{6}}{\small.}\)