Представьте выражение в виде произведения числа и степени переменной \(\displaystyle x{\small.}\)
| \(\displaystyle \sqrt{49x^{12}}=\) | \(\displaystyle \,\,\cdot\) | \(\displaystyle x\) |
Подкоренное выражение является произведением квадратов:
\(\displaystyle 49x^{12}=7^2\cdot (x^6)^2{\small.}\)
Поскольку оба множителя неотрицательны, воспользуемся правилом
Корень из произведения
Для любых неотрицательных чисел \(\displaystyle a \) и \(\displaystyle b \) выполняется
\(\displaystyle \sqrt{ a\cdot b}= \sqrt{ a}\cdot\sqrt{ b} {\small.} \)
и запишем корень как произведение корней:
\(\displaystyle \sqrt{49x^{12}}=\sqrt{7^2\cdot (x^6)^2}=\sqrt{7^2}\cdot\sqrt{ (x^6)^2}{\small.}\)
Теперь воспользуемся правилом:
Для любого числа \(\displaystyle a\) выполняется
\(\displaystyle \sqrt{a^2}=|a|{\small.}\)
Получим:
\(\displaystyle \sqrt{7^2}\cdot\sqrt{ (x^6)^2}=7\cdot|x^6|{\small.}\)
Так как \(\displaystyle x^6\geqslant 0\) для любого действительного числа \(\displaystyle x{\small,}\) то
\(\displaystyle |x^6|=x^6{\small.}\)
Таким образом, при любых действительных значениях \(\displaystyle x{\small}\)
\(\displaystyle \color{Blue}{\sqrt{49x^{12}}=7\cdot x^6}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 7\cdot x^6{\small.}\)